FísicaDifícilProblema · 2,5 pts

Campo y potencial gravitatorio

También trata: Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Andalucía · 2017 · Reserva 2 · Opción B

Enunciado

a) Dos satélites de igual masa están en órbitas de igual radio alrededor de la Tierra y de la Luna. ¿Tienen el mismo periodo orbital? ¿Y la misma energía cinética? Razone las respuestas.

b) El asteroide de Cheliábinsk (2013) explotó a

20\,\text{km}

de altura con velocidad

18\,\text{km s}^{-1}

. Calcule su velocidad cuando estaba a

30000\,\text{km}

de altura (desprecie el rozamiento).

Datos:

G = 6{,}67\cdot10^{-11}

;

M_T = 5{,}97\cdot10^{24}\,\text{kg}

;

R_T = 6{,}37\cdot10^{6}\,\text{m}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;v_2 \approx 1{,}49\cdot10^{4}\ \text{m s}^{-1}\ (14{,}9\ \text{km/s})\;}

30000\,\text{km}

iba más despacio que al explotar: fue ganando velocidad al caer.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El periodo

T = 2\pi\sqrt{r^3/GM}

y la energía cinética

E_c = GMm/2r

dependen de la masa del astro central: distinta para Tierra y Luna, luego difieren. En b), como solo actúa la gravedad, se conserva la energía mecánica:

\tfrac12 v_1^2 - \dfrac{GM}{r_1} = \tfrac12 v_2^2 - \dfrac{GM}{r_2}

Desarrollo

a) En una órbita circular de radio

r

alrededor de un astro de masa

M

, la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta:

\frac{GMm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}\ \Rightarrow\ v = \sqrt{\frac{GM}{r}}

De aquí:

T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}},\qquad E_c = \tfrac12 mv^2 = \frac{GMm}{2r}

Los dos satélites tienen la misma

m

y el mismo

r

, pero giran alrededor de astros de masa distinta (

M_{\text{Tierra}}\approx 81\,M_{\text{Luna}}

). Por tanto, no tienen el mismo periodo ni la misma energía cinética:

$T\propto 1/\sqrt M$ : el satélite de la Tierra tiene menor periodo ( $T_{\text{Luna}}/T_{\text{Tierra}} = \sqrt{M_T/M_L}\approx 9$ ).
$E_c\propto M$ : el satélite de la Tierra va más rápido y tiene mayor energía cinética (unas 81 veces mayor).

b) Conservación de energía entre

r_2 = R_T + 3\cdot10^{7} = 3{,}64\cdot10^{7}\,\text{m}

r_1 = R_T + 2\cdot10^{4} = 6{,}39\cdot10^{6}\,\text{m}

\tfrac12 v_2^2 = \tfrac12 v_1^2 - GM\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right)

\tfrac12 v_2^2 = \tfrac12(1{,}8\cdot10^{4})^2 - 3{,}98\cdot10^{14}(1{,}56\cdot10^{-7}-2{,}75\cdot10^{-8}) = 1{,}11\cdot10^{8}

Consejo

Periodo y energía cinética orbitales dependen del astro central (su masa), no solo del radio. En b), plantea conservación de energía mecánica entre las dos alturas; al acercarse a la Tierra, la energía potencial (negativa) se convierte en cinética.

Paso 1 de 3

¿Lo has intentado? Con una cuenta marcas hasta dónde llegaste y te proponemos qué repasar después.

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Campo y potencial gravitatorio

a) El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es