Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) i) Falso. Si solo actúan fuerzas conservativas, $W_{\text{nc}} = 0$ y por tanto$$\Delta E_m = W_{\text{nc}} = 0$$La energía mecánica se conserva: ni aumenta ni disminuye. Lo que ocurre es que se transforma energía potencial en cinética y viceversa, pero la suma es constante.

a) ii) Falso. El rozamiento que se opone al desplazamiento forma $180^\circ$ con él, luego su trabajo es negativo:$$W_{F_r} = F_r\,d\cos 180^\circ = -F_r\,d < 0$$y como $\Delta E_m = W_{\text{nc}} = W_{F_r} < 0$, la energía mecánica disminuye. Se disipa en forma de calor.

b) i) En el plano inclinado (liso) actúan solo el peso $\vec{P}$ (vertical hacia abajo) y la normal $\vec{N}$ (perpendicular al plano). En la superficie horizontal actúan el peso, la normal (ahora vertical) y el rozamiento $\vec{F}_r$, horizontal y opuesto al movimiento.

b) ii) Tomamos como origen de alturas la superficie horizontal. El desnivel que baja por el plano es$$h = d_1\,\text{sen}\,15^\circ = 2\cdot 0{,}259 = 0{,}518\ \text{m}$$Energía mecánica inicial (arriba del plano, con $v_0 = 3\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$):$$E_i = \tfrac{1}{2}m v_0^2 + m g h = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 3^2 + 5\cdot 9{,}8\cdot 0{,}518 = 22{,}5 + 25{,}4 = 47{,}9\ \text{J}$$Energía mecánica final (sobre el suelo, con $v_f = 1\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$):$$E_f = \tfrac{1}{2}m v_f^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 1^2 = 2{,}5\ \text{J}$$El trabajo del rozamiento es la variación de energía mecánica:$$W_{F_r} = \Delta E_m = E_f - E_i = 2{,}5 - 47{,}9$$$$W_{F_r} = -45{,}4\ \text{J}$$b) iii) Como el plano inclinado es liso, todo ese trabajo se ha hecho en los $2\,\text{m}$ horizontales, donde la normal vale $N = mg$:$$|W_{F_r}| = \mu\,m\,g\,d_2$$$$45{,}4 = \mu\cdot 5\cdot 9{,}8\cdot 2 = \mu\cdot 98$$$$\mu = 0{,}46$$Comprobación: la velocidad al final del plano sería $v_1 = \sqrt{v_0^2 + 2gh} = \sqrt{9 + 10{,}1} = 4{,}38\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$, y en el tramo horizontal $\tfrac{1}{2}m(v_f^2 - v_1^2) = -45{,}4\,\text{J}$, que coincide.