Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) Una fuerza es conservativa cuando el trabajo que realiza al desplazar un cuerpo entre dos puntos no depende de la trayectoria seguida, sino únicamente de las posiciones inicial y final. Equivalentemente: su trabajo a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo.$$\oint \vec{F}\cdot d\vec{r} = 0$$Esa propiedad permite definir una energía potencial asociada, de modo que $W = -\Delta E_p$. Son ejemplos el peso (y en general la fuerza gravitatoria), la fuerza eléctrica y la elástica de un muelle.

Una fuerza es no conservativa cuando su trabajo sí depende del camino recorrido. Para ellas no puede definirse ninguna energía potencial, y su presencia hace que la energía mecánica no se conserve. El ejemplo característico es la fuerza de rozamiento: siempre se opone al movimiento, así que su trabajo es negativo y proporcional a la distancia total recorrida. Un cuerpo que recorre un circuito cerrado y vuelve al punto de partida ha perdido energía por rozamiento, cosa que no ocurriría con el peso. Otros ejemplos son la resistencia del aire y las fuerzas aplicadas por un motor.

b) i) Durante la subida actúan tres fuerzas sobre el bloque:

• El peso $\vec{P} = m\vec{g}$, vertical y hacia abajo, de módulo $P = 2\cdot 9{,}8 = 19{,}6\,\text{N}$. Conviene descomponerlo en una componente paralela al plano, $mg\,\text{sen}\,30^\circ = 9{,}8\,\text{N}$ (que frena la subida), y otra perpendicular, $mg\cos 30^\circ = 16{,}97\,\text{N}$.
• La normal $\vec{N}$, perpendicular al plano y hacia fuera, que equilibra la componente perpendicular del peso:

$$N = m\,g\cos 30^\circ = 2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}866 = 16{,}97\ \text{N}$$

• La fuerza de rozamiento $\vec{F}_r$, paralela al plano y hacia abajo (opuesta al movimiento de ascenso):

$$F_r = \mu\,N = 0{,}3\cdot 16{,}97 = 5{,}09\ \text{N}$$Nótese que durante la subida las dos fuerzas paralelas al plano —la componente del peso y el rozamiento— apuntan en el mismo sentido, frenando el bloque conjuntamente.

b) ii) El bloque parte con energía cinética y acaba en reposo, así que toda ella se reparte entre el aumento de energía potencial y lo disipado por el rozamiento:$$\tfrac{1}{2}m\,v_0^2 = m\,g\,h + F_r\,d \qquad\text{con}\qquad h = d\,\text{sen}\,30^\circ$$Sustituyendo:$$\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 5^2 = 2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}5\,d + 5{,}09\,d$$$$25 = 9{,}8\,d + 5{,}09\,d = 14{,}89\,d$$$$d = \frac{25}{14{,}89}$$$$d = 1{,}68\ \text{m}$$b) iii) El trabajo del rozamiento es negativo, porque se opone al desplazamiento:$$W_{F_r} = -F_r\,d = -5{,}09\cdot 1{,}68$$$$W_{F_r} = -8{,}55\ \text{J}$$De los $25\,\text{J}$ iniciales, $8{,}55\,\text{J}$ se han disipado como calor y los $16{,}45\,\text{J}$ restantes se han almacenado como energía potencial ($mgh = 2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}84 = 16{,}45\,\text{J}$ ✓).