Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a.i) Sí. El trabajo total sobre la partícula es la suma del trabajo de las fuerzas conservativas (aquí, el peso) y el de las no conservativas: $W_{\text{tot}} = W_c + W_{nc}$. Para una fuerza conservativa, $W_c = -\Delta E_p$. Sustituyendo en el teorema de la energía cinética ($W_{\text{tot}} = \Delta E_c$, apartado ii):$$-\Delta E_p + W_{nc} = \Delta E_c\;\Rightarrow\; W_{nc} = \Delta E_c + \Delta E_p = \Delta E_m$$El trabajo de la fuerza no conservativa es igual a la variación de la energía mecánica. Si $W_{nc}<0$ (rozamiento), la energía mecánica disminuye (se disipa en calor); si $W_{nc}>0$ (un motor, una persona que empuja), aumenta; si $W_{nc}=0$, la energía mecánica se conserva.

a.ii) Sí. El trabajo de la fuerza resultante (el de todas las fuerzas, conservativas o no) es igual a la variación de la energía cinética: $W_{\text{tot}} = \Delta E_c$ (teorema de las fuerzas vivas). Se deduce de la segunda ley de Newton: $W_{\text{tot}} = \int \vec F\cdot d\vec r = \int m\,\dfrac{d\vec v}{dt}\cdot\vec v\,dt = \tfrac12 m v_f^2 - \tfrac12 m v_i^2$. Este teorema vale siempre; el del apartado i) es un caso particular que separa la parte conservativa.

b.i) Subida ($F_r = \mu m g\cos\theta$, recorrido $d = h/\text{sen}\,\theta$):$$\tfrac12 m v_0^2 = mgh + \mu m g\cos\theta\cdot\frac{h}{\text{sen}\,\theta}\;\Rightarrow\; h = \frac{v_0^2}{2g(1+\mu\,\text{cotg}\,\theta)}$$$$h = \frac{5^2}{2\cdot9{,}8\,(1 + 0{,}1\cdot1{,}73)} = \frac{25}{22{,}99} = 1{,}09\ \text{m}$$b.ii) El bloque vuelve a bajar porque la componente del peso a lo largo del plano, $mg\,\text{sen}\,30^\circ = 49\,\text{N}$, supera al rozamiento máximo, $8{,}5\,\text{N}$ ($\text{tg}\,30^\circ = 0{,}58 > \mu$). En el viaje de ida y vuelta el rozamiento disipa $2 F_r d$; la energía potencial se recupera. Con $d = h/\text{sen}\,\theta = 2{,}17\,\text{m}$ y $F_r = \mu mg\cos\theta = 8{,}49\,\text{N}$:$$\tfrac12 m v_f^2 = \tfrac12 m v_0^2 - 2F_r d = 125 - 2\cdot8{,}49\cdot2{,}17 = 88{,}1\ \text{J}$$$$v_f = \sqrt{\frac{2\cdot 88{,}1}{10}} = 4{,}2\ \text{m s}^{-1}$$