Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) La velocidad de escape es la velocidad mínima que hay que comunicar a un cuerpo en la superficie de un planeta (o, en general, a una distancia $r$ de su centro) para que escape de su atracción gravitatoria, es decir, para que llegue al infinito, donde la energía potencial es cero, con velocidad nula.

Si solo actúa la fuerza gravitatoria (conservativa), la energía mecánica se conserva. En la superficie ($r = R$) el cuerpo tiene $E_c = \tfrac12 m v_e^2$ y $E_p = -\dfrac{GMm}{R}$; en el infinito, en el caso límite, $E_c = 0$ y $E_p = 0$:$$\tfrac12 m v_e^2 - \frac{GMm}{R} = 0 + 0$$$$\boxed{v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}}$$No depende de la masa $m$ del cuerpo ni de la dirección de lanzamiento (despreciando el rozamiento con la atmósfera). Con una velocidad menor la energía mecánica sería negativa y el cuerpo quedaría ligado al planeta.

b.i) En la órbita circular la fuerza gravitatoria actúa como centrípeta:$$\frac{GM_Tm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{GM_T}{r}}$$Con $GM_T = 6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24} = 3{,}99\cdot10^{14}\,\text{N m}^2\text{kg}^{-1}$:$$r = \frac{GM}{v^2} = \frac{3{,}99\cdot10^{14}}{(7{,}5\cdot10^{3})^2} = 7{,}09\cdot10^{6}\ \text{m}$$Es mayor que $R_T$, como debe ser: el satélite orbita a unos $7{,}2\cdot10^{5}\,\text{m}$ ($720\,\text{km}$) sobre la superficie.

b.ii) Energía potencial:$$E_p = -\frac{GMm}{r} = -\frac{3{,}99\cdot10^{14}\cdot100}{7{,}09\cdot10^{6}} = -5{,}63\cdot10^{9}\ \text{J}$$b.iii) Energía mecánica:$$E_m = E_c + E_p = \tfrac12 mv^2 - \frac{GMm}{r}$$Como $mv^2 = GMm/r$ en la órbita circular, $E_c = -E_p/2$ y$$E_m = -\frac{GMm}{2r} = \frac{E_p}{2} = -2{,}81\cdot10^{9}\ \text{J}$$Se comprueba con $E_c = \tfrac12\cdot100\cdot(7{,}5\cdot10^{3})^2 = 2{,}81\cdot10^{9}\,\text{J}$: $E_m = 2{,}81\cdot10^{9} - 5{,}63\cdot10^{9} = -2{,}81\cdot10^{9}\,\text{J}$. Es negativa: el satélite está ligado a la Tierra.