Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) Energía cinética: no puede ser negativa. $E_c = \tfrac12 mv^2$, con $m>0$ y $v^2\ge0$, así que $E_c\ge0$ siempre (es nula solo si la partícula está en reposo).

Energía potencial: sí puede ser negativa. Su valor en un punto depende del origen elegido; solo sus variaciones tienen significado físico. Con $E_p = mgh$ es negativa en los puntos por debajo del nivel de referencia. Con el origen en el infinito, la energía potencial gravitatoria $E_p = -\dfrac{GMm}{r}$ es siempre negativa (y la electrostática $E_p = K\dfrac{qQ}{r}$ lo es entre cargas de signo opuesto). El signo negativo significa que la energía potencial del sistema es menor que en la referencia: hay que aportar energía (trabajo externo) para llevar la partícula hasta el infinito, es decir, el sistema está ligado por una fuerza atractiva. Un signo positivo indica lo contrario (fuerza repulsiva: el campo realiza trabajo al separar las partículas).

¿$\Delta E_c = -\Delta E_p$ siempre? No. Por el teorema de las fuerzas vivas, $W_{\text{total}} = \Delta E_c$, y el trabajo de las fuerzas conservativas es $W_c = -\Delta E_p$. Entonces$$\Delta E_c = W_c + W_{nc} = -\Delta E_p + W_{nc}\;\Rightarrow\;\Delta E_c + \Delta E_p = \Delta E_m = W_{nc}$$El aumento de energía cinética solo es igual a la disminución de la potencial si el trabajo de las fuerzas no conservativas es nulo ($W_{nc}=0$, energía mecánica constante). Si hay rozamiento ($W_{nc}<0$) o fuerzas externas aplicadas, no se cumple: en este mismo problema el bloque gana $E_p$ sin variar su $E_c$.

b.i) Altura: $h = 20\cdot\text{sen}\,30^\circ = 10\,\text{m}$.$$\Delta E_p = mgh = 100\cdot9{,}8\cdot10 = 9800\ \text{J}$$b.ii) Esquema de fuerzas (ejes: $x$ paralelo al plano hacia arriba, $y$ perpendicular):

• Peso $m\vec g$, vertical hacia abajo, con componentes $mg\,\text{sen}\,30^\circ$ paralela al plano (hacia abajo) y $mg\cos30^\circ$ perpendicular al plano (hacia él).
• Normal $\vec N$, perpendicular al plano, hacia fuera: $N = mg\cos30^\circ = 848{,}7\,\text{N}$.
• Rozamiento $\vec F_r$, paralelo al plano y hacia abajo (opuesto al movimiento): $F_r = \mu N = 0{,}2\cdot848{,}7 = 169{,}7\,\text{N}$.
• Fuerza aplicada $\vec F$, paralela al plano y hacia arriba.

A velocidad constante la aceleración es nula, así que la resultante a lo largo del plano es cero:$$F = mg\,\text{sen}\,30^\circ + \mu mg\cos30^\circ = 490 + 169{,}7 = 659{,}7\ \text{N}$$Como $\vec F$ tiene el sentido del desplazamiento:$$W_F = F\,d = 659{,}7\cdot 20 = 1{,}32\cdot10^{4}\ \text{J}$$