FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Mecánica: dinámica, energía y trabajo

También trata: Campo y potencial gravitatorio · Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Andalucía · 2025 · Junio

Enunciado

a) Considere dos masas puntuales iguales separadas una cierta distancia. Razone la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) (0,5 puntos) el campo gravitatorio es nulo solamente en el punto medio entre las dos masas; ii) (0,5 puntos) el potencial gravitatorio solo se anula a distancia infinita.

b1) Un asistente de vuelo arrastra con velocidad constante una maleta sin ruedas de

7\,\text{kg}

por una superficie horizontal. Tira de la maleta con una correa que forma un ángulo de

63^\circ

con el suelo. El coeficiente de rozamiento entre la maleta y el suelo es

0{,}25

. i) (0,25 puntos) Realice un esquema de las fuerzas que actúan sobre la maleta. ii) (1,25 puntos) Calcule razonadamente el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre la maleta en un recorrido de

3{,}5\,\text{m}

.

Dato:

g = 9{,}8\,\text{m}\,\text{s}^{-2}

.

b2) En los años 60 del siglo pasado, un satélite solía orbitar a

1{,}6\times 10^{4}\,\text{km}

sobre la superficie de la Tierra. Calcule razonadamente: i) (0,5 puntos) la energía potencial de un satélite de

1000\,\text{kg}

en esta órbita; ii) (0,5 puntos) la velocidad que lleva el satélite en esa órbita; iii) (0,5 puntos) la energía que tiene el satélite en dicha órbita.

Datos:

G = 6{,}67\times 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

;

M_T = 5{,}98\times 10^{24}\,\text{kg}

;

R_T = 6370\,\text{km}

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Resultado

\boxed{\;\text{i) Verdadera} \qquad \text{ii) Verdadera}\;}

\boxed{\;T = 25{,}3\ \text{N};\quad W_T = 40{,}3\ \text{J};\quad W_{F_r} = -40{,}3\ \text{J};\quad W_P = W_N = 0\;}

\boxed{\;E_p = -1{,}78\cdot 10^{10}\ \text{J}\qquad v = 4{,}22\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\qquad E = -8{,}92\cdot 10^{9}\ \text{J}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Tres bloques independientes.

En a) hay que distinguir campo (vector) de potencial (escalar). El campo se anula donde los dos vectores se cancelan, y con masas iguales hay que comprobar tres zonas: entre ellas, fuera del segmento y fuera de la recta. El potencial, en cambio, es una suma de números negativos: no se anula en ningún punto a distancia finita.

En b1) la maleta va a velocidad constante, así que la aceleración es nula y las fuerzas se equilibran en los dos ejes. Cuidado con la normal: la correa tira hacia arriba, así que

N < mg

.

En b2) es un satélite en órbita circular. Las tres preguntas salen de las fórmulas de

E_p

v

E

una vez calculado el radio de la órbita, que es el radio de la Tierra más la altura.

Desarrollo

a) Sean dos masas iguales

m

separadas una distancia

d

.

i) Verdadera. Hay que revisar las tres zonas posibles:

En el punto medio: las distancias son iguales y las masas también, luego los dos campos tienen el mismo módulo y sentidos opuestos. Se cancelan: $\vec{g} = 0$ .
Sobre la recta que une las masas, pero fuera del segmento: los dos campos apuntan en el mismo sentido (hacia las masas), así que se suman y nunca dan cero.
Fuera de esa recta: cada campo apunta hacia su masa, y las dos masas están sobre la recta, así que las dos componentes perpendiculares a la recta apuntan hacia ella y se suman (en la mediatriz, las componentes paralelas a la recta se cancelan, pero las perpendiculares siguen sumándose). El campo tampoco es nulo.

El único punto a distancia finita donde

\vec{g} = 0

es, por tanto, el punto medio (el campo también tiende a cero en el infinito, pero solo como límite).

ii) Verdadera. El potencial total es

V = -\frac{Gm}{r_1} - \frac{Gm}{r_2}

suma de dos cantidades negativas, que nunca puede dar cero a distancia finita. Solo tiende a cero cuando

r_1, r_2 \to \infty

.

b1) Fuerzas sobre la maleta: el peso

\vec{P}

(hacia abajo), la normal

\vec{N}

(hacia arriba), la tensión

\vec{T}

de la correa (formando

63^\circ

con el suelo) y el rozamiento

\vec{F}_r

(horizontal, opuesto al movimiento).

Al ir con velocidad constante,

a = 0

\text{Eje } X:\quad T\cos 63^\circ = F_r = \mu N

\text{Eje } Y:\quad N + T\,\text{sen}\,63^\circ = mg \;\Longrightarrow\; N = mg - T\,\text{sen}\,63^\circ

Sustituyendo la segunda en la primera:

T\cos 63^\circ = \mu\,(mg - T\,\text{sen}\,63^\circ) \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{\mu\,m g}{\cos 63^\circ + \mu\,\text{sen}\,63^\circ}

T = \frac{0{,}25\cdot 7\cdot 9{,}8}{0{,}454 + 0{,}25\cdot 0{,}891} = \frac{17{,}15}{0{,}677} = 25{,}3\ \text{N}

N = 7\cdot 9{,}8 - 25{,}3\cdot 0{,}891 = 68{,}6 - 22{,}6 = 46{,}0\ \text{N}

Trabajos en

d = 3{,}5\,\text{m}

W_T = T\cos 63^\circ\cdot d = 25{,}3\cdot 0{,}454\cdot 3{,}5 = 40{,}3\ \text{J}

W_{F_r} = -\mu N d = -0{,}25\cdot 46{,}0\cdot 3{,}5 = -40{,}3\ \text{J}

W_P = 0 \qquad W_N = 0

(el peso y la normal son perpendiculares al desplazamiento). El trabajo total es nulo, coherente con que la energía cinética no cambia.

b2) Radio de la órbita:

r = R_T + h = 6{,}37\cdot 10^{6} + 1{,}6\cdot 10^{7} = 2{,}237\cdot 10^{7}\,\text{m}

Con

G M_T = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24} = 3{,}99\cdot 10^{14}

:

i) Energía potencial:

E_p = -\frac{G M_T m}{r} = -\frac{3{,}99\cdot 10^{14}\cdot 1000}{2{,}237\cdot 10^{7}} = -1{,}78\cdot 10^{10}\ \text{J}

ii) Velocidad orbital (la gravedad hace de fuerza centrípeta):

\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} = \sqrt{\frac{3{,}99\cdot 10^{14}}{2{,}237\cdot 10^{7}}} = 4{,}22\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

iii) Energía total:

E = E_c + E_p = \tfrac{1}{2}\frac{G M_T m}{r} - \frac{G M_T m}{r} = -\frac{G M_T m}{2r} = \frac{E_p}{2}

E = -8{,}92\cdot 10^{9}\ \text{J}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b1) el fallo más caro es escribir $N = mg$ . La correa tira hacia arriba y aligera la maleta: $N = mg - T\,\text{sen}\,63^\circ$ . Si usas $N = mg$ , el rozamiento sale mayor que la tensión horizontal y ya no hay velocidad constante.

En b2), la altura no es el radio de la órbita: hay que sumarle $R_T$ . Y pasa los $1{,}6\cdot 10^{4}\,\text{km}$ a metros antes de sumar.

Paso 1 de 3

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