Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a.i) La velocidad orbital es la velocidad (tangente a la trayectoria) que debe llevar un satélite para describir una órbita circular estable de radio $r$ alrededor de un astro. En una órbita circular, la única fuerza sobre el satélite es la atracción gravitatoria de la Tierra, que actúa como fuerza centrípeta:$$\frac{GM_Tm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}\;\Rightarrow\;\boxed{v = \sqrt{\frac{GM_T}{r}}},\qquad r = R_T + h$$No depende de la masa del satélite, y disminuye al aumentar el radio de la órbita.

a.ii) La velocidad de escape es la mínima que hay que dar a un cuerpo para que llegue al infinito con velocidad nula ($E_m = 0$):$$\tfrac12 m v_e^2 - \frac{GM_Tm}{r} = 0\;\Rightarrow\; v_e = \sqrt{\frac{2GM_T}{r}}$$A una altura $h$, $r = R_T + h$. Para $h=2R_T\Rightarrow r_1=3R_T$; para $h=3R_T\Rightarrow r_2=4R_T$. Como $v_e\propto1/\sqrt r$:$$\frac{v_e(2R_T)}{v_e(3R_T)} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = 1{,}15$$La velocidad de escape a una altura de $2R_T$ es $1{,}15$ veces la correspondiente a $3R_T$: al subir, disminuye en un factor $\sqrt{3/4} = 0{,}87$.

b.i) Con $T = 86400\,\text{s}$ y $r = \left(\dfrac{GM\,T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}$:$$r = \left(\frac{3{,}99\cdot10^{14}\cdot(86400)^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} = 4{,}22\cdot10^{7}\ \text{m}$$$$h = r - R_T = 4{,}22\cdot10^{7} - 6{,}37\cdot10^{6} = 3{,}59\cdot10^{7}\ \text{m}$$$$v = \sqrt{GM/r} = \sqrt{\frac{3{,}99\cdot10^{14}}{4{,}22\cdot10^{7}}} = 3{,}07\cdot10^{3}\ \text{m s}^{-1}$$b.ii) Energía de puesta en órbita: la diferencia entre la energía mecánica del satélite en su órbita ($E_m = E_c + E_p = -\tfrac{GM_Tm}{2r}$) y la que tiene en reposo en la superficie (despreciamos la rotación terrestre):$$\Delta E = \left(-\frac{GM_Tm}{2r}\right) - \left(-\frac{GM_Tm}{R_T}\right) = -2{,}12\cdot10^{10} + 2{,}82\cdot10^{11} = 2{,}61\cdot10^{11}\ \text{J}$$(Si solo se quisiera subirlo hasta esa altura, sin darle la velocidad orbital, bastaría $\Delta E_p = GM_Tm\left(\tfrac1{R_T}-\tfrac1r\right) = 2{,}39\cdot10^{11}\,\text{J}$; para dejarlo en órbita hay que aportar además su energía cinética orbital, $2{,}12\cdot10^{10}\,\text{J}$.)