Campo y potencial gravitatorio

a) i) Las dos partículas se atraen mutuamente. Por la tercera ley de Newton, las fuerzas son iguales en módulo y opuestas en sentido, dirigidas cada una hacia la otra partícula a lo largo de la recta que las une:$$F_{12} = F_{21} = \frac{G\,m\cdot 2m}{d^2} = \frac{2\,G\,m^2}{d^2}$$Esquema: las dos partículas sobre una recta separadas $d$; sobre la de masa $m$, una flecha apuntando hacia la de $2m$; sobre la de $2m$, una flecha del mismo tamaño apuntando hacia la de $m$.

Merece la pena subrayarlo: aunque una masa sea el doble que la otra, las fuerzas son exactamente iguales. La masa mayor no atrae "más".

a) ii) Aplicando la segunda ley de Newton a cada partícula, con el mismo módulo de fuerza:$$a_1 = \frac{F}{m} \qquad a_2 = \frac{F}{2m}$$$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{F/m}{F/(2m)} = 2$$$$a_1 = 2\,a_2$$La partícula de masa $m$ tiene el doble de aceleración que la de masa $2m$. Es decir: fuerzas iguales, pero aceleraciones inversamente proporcionales a las masas. La partícula ligera "se mueve" mucho más, que es la razón por la que decimos que la Luna gira alrededor de la Tierra y no al revés, cuando en rigor ambas giran en torno a su centro de masas común.

b) i) El campo se anula entre las dos masas, donde sus contribuciones tienen sentidos opuestos. Sea $x$ la distancia desde la masa de $5\,\text{kg}$ (en el origen); la distancia a la de $10\,\text{kg}$ es $1 - x$:$$\frac{G\cdot 5}{x^2} = \frac{G\cdot 10}{(1-x)^2}$$Simplificando $G$ y reordenando:$$\frac{(1-x)^2}{x^2} = \frac{10}{5} = 2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1-x}{x} = \sqrt{2} = 1{,}414$$$$1 - x = 1{,}414\,x \quad\Longrightarrow\quad 1 = 2{,}414\,x$$$$x = 0{,}414\ \text{m}$$El punto de campo nulo es $(0{,}414;\ 0)\,\text{m}$: está a $0{,}414\,\text{m}$ de la masa de $5\,\text{kg}$ y a $0{,}586\,\text{m}$ de la de $10\,\text{kg}$, es decir, más cerca de la masa menor, como corresponde para que las dos atracciones se compensen.

Comprobación: $5/0{,}414^2 = 29{,}2$ y $10/0{,}586^2 = 29{,}1$ ✓.

Representación: las dos masas sobre el eje $X$; en el punto marcado, dos flechas opuestas de igual longitud que se cancelan.

b) ii) Calculamos el potencial en los dos puntos.

En $(3,0)$: las distancias son $r_1 = 3\,\text{m}$ (a la masa de $5\,\text{kg}$) y $r_2 = 2\,\text{m}$ (a la de $10\,\text{kg}$).$$V_i = -G\left(\frac{5}{3} + \frac{10}{2}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\,(1{,}667 + 5) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6{,}667$$$$V_i = -4{,}447\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$En $(-2,0)$: ahora $r_1 = 2\,\text{m}$ y $r_2 = 3\,\text{m}$ (las distancias se intercambian).$$V_f = -G\left(\frac{5}{2} + \frac{10}{3}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\,(2{,}5 + 3{,}333) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}833$$$$V_f = -3{,}891\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$El trabajo necesario (el que debe aportar un agente externo) es la variación de energía potencial:$$W_{\text{necesario}} = m\,(V_f - V_i) = 4\cdot(-3{,}891\cdot 10^{-10} + 4{,}447\cdot 10^{-10})$$$$W_{\text{necesario}} = 4\cdot 5{,}558\cdot 10^{-11}$$$$W_{\text{necesario}} = +2{,}22\cdot 10^{-10}\ \text{J}$$El signo positivo indica que sí hay que aportar energía: el punto de llegada está a un potencial mayor (menos negativo), es decir, más alejado gravitatoriamente del conjunto. La razón geométrica es clara: en $(3,0)$ la masa estaba a solo $2\,\text{m}$ de la masa grande ($10\,\text{kg}$), mientras que en $(-2,0)$ está a $3\,\text{m}$.