FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Campo y potencial gravitatorio

También trata: Mecánica: dinámica, energía y trabajo · Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Andalucía · 2025 · Reserva 1

Enunciado

a) Se deja caer un objeto de masa

m

desde una altura

h

sobre la superficie de la Tierra y llega al suelo sin que actúe ninguna fuerza de rozamiento. Considerando que la altura es mucho menor que el radio terrestre, y mediante razonamientos energéticos, calcule: i) (0,5 puntos) el trabajo que realiza la fuerza peso en ese trayecto; ii) (0,5 puntos) la velocidad con que el cuerpo llega al suelo.

b1) Dos masas puntuales de

400\,\text{kg}

están situadas en los puntos

A(2,2)\,\text{m}

B(2,-2)\,\text{m}

. Calcule razonadamente: i) (0,5 puntos) el potencial gravitatorio en el punto

C(2,0)\,\text{m}

; ii) (1 punto) el trabajo que hay que realizar para desplazar una masa de

3\,\text{kg}

, inicialmente en reposo en

C

, hasta dejarla en reposo en el origen de coordenadas.

Dato:

G = 6{,}67\times 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

.

b2) Para salir de la Luna, los astronautas del Apolo tuvieron que despegar de su superficie en su módulo lunar de

15000\,\text{kg}

. Calcule razonadamente: i) (0,5 puntos) la velocidad de escape de la Luna; ii) (0,5 puntos) la energía cinética mínima necesaria para que el vehículo escape de la Luna; iii) (0,5 puntos) la velocidad con la que llegaría a la Tierra una nave, inicialmente en reposo, desde una altura de

2{,}5\times 10^{4}\,\text{km}

sobre la superficie terrestre. Considere despreciable el rozamiento con el aire y el efecto de la Luna.

Datos:

G = 6{,}67\times 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

;

M_L = 7{,}35\times 10^{22}\,\text{kg}

;

R_L = 1740\,\text{km}

;

M_T = 5{,}98\times 10^{24}\,\text{kg}

;

R_T = 6370\,\text{km}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;W_{\text{peso}} = mgh \qquad v = \sqrt{2gh}\;}

\boxed{\;V_C = -2{,}67\cdot 10^{-8}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\qquad W_{\text{ext}} = 2{,}34\cdot 10^{-8}\ \text{J}\;}

\boxed{\;v_e = 2{,}37\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\qquad E_c = 4{,}23\cdot 10^{10}\ \text{J}\qquad v = 9{,}99\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el enunciado insiste en "razonamientos energéticos" y en que

h \ll R_T

: eso autoriza a usar

E_p = mgh

y a olvidarse de la fórmula general.

En b1) el punto

C

está justo en el punto medio entre las dos masas. El potencial es escalar, así que se suman los dos valores sin proyectar nada. Y como la masa parte del reposo y llega al reposo, el trabajo externo es exactamente el incremento de energía potencial.

En b2) hay tres cuestiones de energía gravitatoria: velocidad de escape lunar, la energía cinética que exige, y una caída libre desde muy alto sobre la Tierra, donde ahora sí hace falta la fórmula general porque la altura es comparable al radio terrestre.

Desarrollo

a) Con

h \ll R_T

el campo es prácticamente uniforme y vale

g

.

i) El peso es constante y va en el sentido del desplazamiento:

W_{\text{peso}} = -\Delta E_p = -(0 - mgh) = m\,g\,h

Es positivo: el peso favorece el movimiento.

ii) Sin rozamiento, la energía mecánica se conserva:

E_c^{\text{inicial}} + E_p^{\text{inicial}} = E_c^{\text{final}} + E_p^{\text{final}}

0 + mgh = \tfrac{1}{2}m v^2 + 0

v = \sqrt{2gh}

(Alternativamente, por el teorema de las fuerzas vivas:

W_{\text{peso}} = \Delta E_c

, es decir,

mgh = \frac{1}{2}mv^2

.)

b1) Masas

M = 400\,\text{kg}

A(2,2)

B(2,-2)

. El punto

C(2,0)

está en el punto medio.

i) Distancias:

r_A = r_B = 2\,\text{m}

. El potencial es escalar:

V_C = -\frac{GM}{r_A} - \frac{GM}{r_B} = -2\,\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 400}{2}

V_C = -2{,}67\cdot 10^{-8}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}

ii) Potencial en el origen

O(0,0)

. Distancias:

r_A = r_B = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} = 2{,}83\,\text{m}

V_O = -2\,\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 400}{2{,}83} = -1{,}89\cdot 10^{-8}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}

Como la masa parte en reposo y acaba en reposo,

\Delta E_c = 0

y el trabajo externo es el incremento de energía potencial:

W_{\text{ext}} = \Delta E_p = m\,(V_O - V_C) = 3\,\bigl(-1{,}89\cdot 10^{-8} + 2{,}67\cdot 10^{-8}\bigr)

W_{\text{ext}} = 3\cdot 7{,}81\cdot 10^{-9} = 2{,}34\cdot 10^{-8}\ \text{J}

Es positivo porque el origen está más lejos de las masas: hay que tirar de ella en contra de la atracción. El trabajo de la fuerza gravitatoria sería

-2{,}34\cdot 10^{-8}\,\text{J}

.

b2) i) Velocidad de escape de la Luna (energía total nula):

\tfrac{1}{2}m v_e^2 - \frac{G M_L m}{R_L} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2 G M_L}{R_L}}

v_e = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 7{,}35\cdot 10^{22}}{1{,}74\cdot 10^{6}}} = \sqrt{5{,}64\cdot 10^{6}}

v_e = 2{,}37\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

ii) Energía cinética mínima del módulo lunar (

m = 15000\,\text{kg}

E_c = \tfrac{1}{2}m v_e^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 15000\cdot 5{,}64\cdot 10^{6} = 4{,}23\cdot 10^{10}\ \text{J}

iii) Caída desde

h = 2{,}5\cdot 10^{4}\,\text{km}

sobre la superficie terrestre. Ahora

h

es mayor que

R_T

, así que hay que usar la expresión general. Radio inicial:

r = R_T + h = 6{,}37\cdot 10^{6} + 2{,}5\cdot 10^{7} = 3{,}137\cdot 10^{7}\,\text{m}

Conservación de la energía entre ese punto (en reposo) y la superficie:

-\frac{G M_T m}{r} = \tfrac{1}{2}m v^2 - \frac{G M_T m}{R_T}

v = \sqrt{2 G M_T\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{r}\right)} = \sqrt{2\cdot 3{,}99\cdot 10^{14}\left(\frac{1}{6{,}37\cdot 10^{6}} - \frac{1}{3{,}137\cdot 10^{7}}\right)}

v = \sqrt{9{,}98\cdot 10^{7}} = 9{,}99\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b1) no proyectes nada: el potencial es un escalar. El error típico es tratarlo como el campo y anularlo por simetría, cuando lo que se anula por simetría en $C$ es el campo, no $V$ .

En b2) iii) la altura ( $25\,000\,\text{km}$ ) es mayor que $R_T$ : aquí $mgh$ no vale. Usa $-GMm/r$ en los dos puntos. Si te sale una velocidad mayor que la de escape terrestre ( $11{,}2\,\text{km/s}$ ), algo has hecho mal.