FísicaDifícilProblema · 2,5 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

También trata: Campo y potencial gravitatorio

Andalucía · 2023 · Julio · Opción A

Enunciado

a) Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra. La velocidad de escape desde la órbita es la cuarta parte de la velocidad de escape desde la superficie terrestre. i) Deduzca la relación que existe entre el radio de la órbita y el radio terrestre. ii) Determine la relación entre la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre y en la órbita del satélite.

b) Un planeta tiene un radio de

5000\,\text{km}

y la gravedad en su superficie es

8{,}2\,\text{m}\,\text{s}^{-2}

. Este planeta orbita en torno a una estrella que tiene una masa de

8\cdot 10^{31}\,\text{kg}

. Determine: i) la masa del planeta; ii) la velocidad de escape desde su superficie; iii) el radio de la órbita en la que la energía mecánica del planeta tiene un valor de

-8{,}15\cdot 10^{33}\,\text{J}

.

Dato:

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r = 16\,R_T \qquad \dfrac{g_{\text{sup}}}{g_{\text{órbita}}} = 256\;}

\boxed{\;M_p = 3{,}07\cdot 10^{24}\ \text{kg}\qquad v_e = 9{,}06\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\qquad r = 1{,}01\cdot 10^{12}\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) conviene escribir la velocidad de escape a una distancia genérica,

v_e = \sqrt{2GM/r}

, y dividir las dos expresiones. Como

v_e \propto 1/\sqrt{r}

, dividir la velocidad entre

4

exige multiplicar el radio por

16

. Y como

g \propto 1/r^2

, ese factor

16

se convierte en

256

para la gravedad.

En b) hay tres pasos independientes: la masa del planeta sale de

g = GM/R^2

; la velocidad de escape, de

\sqrt{2gR}

(sin necesidad de la masa); y el radio orbital, de la energía mecánica de una órbita circular,

E = -GMm/2r

, donde la

M

es la de la estrella y la

m

la del planeta.

Desarrollo

a) i) La velocidad de escape desde una distancia

r

del centro de la Tierra se obtiene imponiendo energía mecánica nula:

v_e(r) = \sqrt{\frac{2\,G\,M_T}{r}}

Dividiendo la de la órbita entre la de la superficie:

\frac{v_e(r)}{v_e(R_T)} = \sqrt{\frac{R_T}{r}} = \frac{1}{4}

Elevando al cuadrado:

\frac{R_T}{r} = \frac{1}{16} \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{r = 16\,R_T}

a) ii) La aceleración de la gravedad a una distancia

r

g = GM_T/r^2

, luego

\frac{g_{\text{sup}}}{g_{\text{órbita}}} = \frac{G M_T/R_T^2}{G M_T/r^2} = \left(\frac{r}{R_T}\right)^2 = 16^2 = 256

La gravedad en la superficie es $256$ veces mayor que en la órbita; equivalentemente,

g_{\text{órbita}} = g_{\text{sup}}/256

.

b) i) De la expresión de la gravedad en la superficie:

g = \frac{G\,M_p}{R^2} \quad\Longrightarrow\quad M_p = \frac{g\,R^2}{G} = \frac{8{,}2\cdot (5\cdot 10^{6})^2}{6{,}67\cdot 10^{-11}} = \frac{2{,}05\cdot 10^{14}}{6{,}67\cdot 10^{-11}}

M_p = 3{,}07\cdot 10^{24}\ \text{kg}

b) ii) Velocidad de escape desde la superficie del planeta. Como

G M_p = g R^2

v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M_p}{R}} = \sqrt{2\,g\,R} = \sqrt{2\cdot 8{,}2\cdot 5\cdot 10^{6}} = \sqrt{8{,}2\cdot 10^{7}}

v_e = 9{,}06\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

b) iii) Ahora el planeta es el cuerpo que orbita y la estrella el astro central. Para una órbita circular, la energía mecánica es

E = E_c + E_p = \frac{G M_e m_p}{2r} - \frac{G M_e m_p}{r} = -\frac{G\,M_e\,m_p}{2\,r}

Despejando el radio, con

|E| = 8{,}15\cdot 10^{33}\,\text{J}

r = \frac{G\,M_e\,m_p}{2\,|E|} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 8\cdot 10^{31}\cdot 3{,}07\cdot 10^{24}}{2\cdot 8{,}15\cdot 10^{33}}

r = \frac{1{,}64\cdot 10^{46}}{1{,}63\cdot 10^{34}} = 1{,}01\cdot 10^{12}\ \text{m}

(unas

6{,}7

unidades astronómicas: un planeta exterior de ese sistema).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En a) la velocidad de escape va con $1/\sqrt{r}$ : dividirla entre $4$ multiplica el radio por $16$ , no por $4$ . Y la gravedad va con $1/r^2$ , así que el factor se eleva otra vez al cuadrado.

En b) iii) no confundas los papeles: la energía mecánica de $-8{,}15\cdot 10^{33}\,\text{J}$ es la del planeta orbitando la estrella, así que en $E = -GMm/2r$ hay que poner la masa de la estrella y la del planeta, no las del apartado anterior.