Campo y potencial gravitatorio

a) i) El potencial gravitatorio creado por una masa puntual $M$ a una distancia $r$, tomando como referencia $V_\infty = 0$, es$$V = -\frac{G\,M}{r}$$donde:

• $V$: potencial gravitatorio, en $\text{J}\,\text{kg}^{-1}$ (energía potencial por unidad de masa).
• $G$: constante de gravitación universal, $6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}$.
• $M$: masa que crea el campo, en kilogramos (kg).
• $r$: distancia desde la masa al punto considerado, en metros (m).

Es siempre negativo, porque la gravedad es solo atractiva y hay que aportar energía para llevar una masa hasta el infinito.

a) ii) Es positivo. Si la masa $m$ parte del reposo y se mueve por acción del propio campo, la fuerza gravitatoria tiene el mismo sentido que el desplazamiento (la atrae hacia $M$), luego$$W = \int \vec{F}\cdot d\vec{r} > 0$$Se ve también con energías: al acercarse a $M$, la distancia $r$ disminuye y $E_p = -GMm/r$ se hace más negativa, es decir, $\Delta E_p < 0$. Y como $W = -\Delta E_p$, resulta $W > 0$. Esa energía potencial perdida aparece como energía cinética: la masa se acelera.

b) i) Sea $x$ la distancia desde el centro de la Tierra al punto buscado; la distancia a la Luna será $d - x$, con $d = 3{,}84\cdot 10^{8}\,\text{m}$. La fuerza total sobre la nave es nula cuando ambas atracciones se igualan:$$\frac{G\,M_T\,m}{x^2} = \frac{G\,M_L\,m}{(d-x)^2}$$Con $M_T = 81\,M_L$ la masa de la nave y $G$ se cancelan:$$\frac{81}{x^2} = \frac{1}{(d-x)^2} \quad\Longrightarrow\quad 81\,(d-x)^2 = x^2 \quad\Longrightarrow\quad 9\,(d-x) = x$$$$9d = 10x \quad\Longrightarrow\quad x = 0{,}9\,d = 0{,}9\cdot 3{,}84\cdot 10^{8}$$$$x = 3{,}456\cdot 10^{8}\ \text{m} = 345\,600\ \text{km}$$El punto está a $345\,600\,\text{km}$ del centro de la Tierra y, por tanto, a $d - x = 3{,}84\cdot 10^{7}\,\text{m} = 38\,400\,\text{km}$ del centro de la Luna: mucho más cerca de la Luna, como corresponde a su menor masa.

b) ii) Necesitamos la masa de la Luna:$$M_L = \frac{M_T}{81} = \frac{5{,}98\cdot 10^{24}}{81} = 7{,}38\cdot 10^{22}\ \text{kg}$$La energía potencial es escalar y se suman las dos contribuciones, ambas negativas:$$E_p = -\frac{G\,M_T\,m}{x} - \frac{G\,M_L\,m}{d-x}$$$$E_p = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 5000}{3{,}456\cdot 10^{8}} - \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 7{,}38\cdot 10^{22}\cdot 5000}{3{,}84\cdot 10^{7}}$$$$E_p = -5{,}77\cdot 10^{9} - 6{,}41\cdot 10^{8}$$$$E_p = -6{,}41\cdot 10^{9}\ \text{J}$$Obsérvese que, aunque la fuerza se anula en ese punto, la energía potencial no: sigue siendo muy negativa, porque la nave está ligada a ambos cuerpos.