Campo y potencial gravitatorio

a) Falsa. Conviene separar bien las dos magnitudes:

• El campo $\vec{g}$ es una magnitud vectorial. Las contribuciones de las distintas masas se suman como vectores y pueden cancelarse entre sí. Que $\vec{g} = \vec{0}$ en un punto es perfectamente posible: ocurre, por ejemplo, en el punto de la recta que une dos masas donde ambas atracciones son opuestas e iguales en módulo.
• El potencial $V$ es una magnitud escalar y, para la gravitación, siempre negativo:

$$V = -\frac{G\,m}{r} < 0$$Al superponer varias masas se suman números todos negativos, y una suma de negativos nunca puede dar cero:$$V = -G\sum_i \frac{m_i}{r_i} < 0 \quad\text{siempre}$$El potencial gravitatorio solo se anula en el infinito, donde por convenio se toma el origen. Por tanto, puede haber perfectamente un punto con campo nulo y potencial no nulo, y de hecho siempre es así.

Ésta es una diferencia importante con el campo eléctrico: allí las cargas pueden ser de ambos signos y el potencial sí puede anularse a distancia finita. En gravitación no hay "masas negativas", y por eso la afirmación es falsa sin excepciones.

b) i) El punto $C(1,1)$ está a la misma distancia de ambas masas:$$r_{AC} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} = 1{,}414\ \text{m} \qquad r_{BC} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} = 1{,}414\ \text{m}$$Cada masa crea en $C$ un campo del mismo módulo, dirigido hacia ella (el campo gravitatorio siempre es atractivo):$$|\vec{g}_1| = |\vec{g}_2| = \frac{G\,m}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 10}{2} = 3{,}335\cdot 10^{-10}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$Ambos forman $45^\circ$ con la horizontal, uno hacia abajo (hacia $A$) y otro hacia arriba (hacia $B$):$$\vec{g}_1 = 3{,}335\cdot 10^{-10}\,(-\cos 45^\circ,\,-\text{sen}\,45^\circ) = (-2{,}358\cdot 10^{-10},\ -2{,}358\cdot 10^{-10})$$$$\vec{g}_2 = 3{,}335\cdot 10^{-10}\,(-\cos 45^\circ,\,+\text{sen}\,45^\circ) = (-2{,}358\cdot 10^{-10},\ +2{,}358\cdot 10^{-10})$$Al sumar, las componentes verticales se cancelan (por la simetría) y solo sobreviven las horizontales:$$\vec{g} = -4{,}72\cdot 10^{-10}\ \vec{i}\ \ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$$$|\vec{g}| = 4{,}72\cdot 10^{-10}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$Dibujo: dos vectores iguales dirigidos desde $C$ hacia $A$ y hacia $B$, y su resultante horizontal apuntando hacia el eje $OY$ (hacia el punto medio del segmento $AB$), en el sentido $-X$.

b) ii) El trabajo de la fuerza gravitatoria se calcula con la diferencia de potenciales, sin necesidad de integrar.

Potencial en $D(1,0)$: las distancias son $r_{AD} = 1\,\text{m}$ y $r_{BD} = \sqrt{1 + 4} = 2{,}236\,\text{m}$.$$V_D = -G\,m\left(\frac{1}{1} + \frac{1}{2{,}236}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-10}\,(1 + 0{,}4472) = -9{,}653\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$Potencial en $C(1,1)$: ambas distancias valen $\sqrt{2}$.$$V_C = -G\,m\cdot\frac{2}{1{,}414} = -6{,}67\cdot 10^{-10}\cdot 1{,}414 = -9{,}433\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$Trabajo de la fuerza gravitatoria al ir de $D$ a $C$:$$W_{D\to C} = m_3\,(V_D - V_C) = 1\cdot(-9{,}653\cdot 10^{-10} + 9{,}433\cdot 10^{-10})$$$$W_{D\to C} = -2{,}20\cdot 10^{-11}\ \text{J}$$Interpretación del signo. El trabajo es negativo: $C$ está a un potencial mayor (menos negativo) que $D$, es decir, más "lejos" gravitatoriamente del conjunto de las dos masas. La gravedad se opone al desplazamiento, y sería necesario un agente externo que aportase esos $2{,}20\cdot 10^{-11}\,\text{J}$.