FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Andalucía · 2017 · Reserva 1 · Opción B

Enunciado

a) Discuta: "cuanto mayor es la altura de la órbita de un satélite, mayor es su energía mecánica y, por tanto, mayores son su energía cinética y su energía potencial".

b) Un tornillo de

150\,\text{g}

orbita a

900\,\text{km}

de altura. Calcule la fuerza gravitatoria Tierra-tornillo y el tiempo que tarda en pasar sucesivamente por el mismo punto.

Datos:

G = 6{,}67\cdot10^{-11}

;

R_T = 6{,}37\cdot10^{6}\,\text{m}

;

M_T = 5{,}97\cdot10^{24}\,\text{kg}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;F = 1{,}13\ \text{N}\quad;\quad T = 6{,}17\cdot10^{3}\ \text{s}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En órbita circular,

E_m = -\dfrac{GMm}{2r}

E_p = -\dfrac{GMm}{r}

E_c = +\dfrac{GMm}{2r}

. Al subir de órbita (mayor

r

E_m

E_p

aumentan (menos negativas), pero

E_c

disminuye. En b),

F = GMm/r^2

y el tiempo pedido es el periodo

T = 2\pi\sqrt{r^3/GM}

Desarrollo

a) En una órbita circular de radio

r = R_T + h

, la fuerza gravitatoria es la centrípeta:

\dfrac{GMm}{r^2} = m\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow mv^2 = \dfrac{GMm}{r}

. Por tanto:

E_c = \frac{GMm}{2r},\qquad E_p = -\frac{GMm}{r},\qquad E_m = E_c + E_p = -\frac{GMm}{2r}

La afirmación es falsa (solo es cierta en parte): al aumentar

r

, la energía mecánica (

-GMm/2r

) y la potencial (

-GMm/r

) aumentan (se hacen menos negativas), pero la energía cinética (

GMm/2r

) disminuye (el satélite va más lento). Luego no es cierto que aumenten las dos.

b)

r = 6{,}37\cdot10^{6} + 9\cdot10^{5} = 7{,}27\cdot10^{6}\,\text{m}

. Fuerza:

F = \frac{GMm}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot0{,}15}{(7{,}27\cdot10^{6})^2} = 1{,}13\ \text{N}

Periodo:

T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} = 2\pi\sqrt{\frac{(7{,}27\cdot10^{6})^3}{3{,}98\cdot10^{14}}} = 6{,}17\cdot10^{3}\ \text{s}\ (\approx 1{,}7\ \text{h})

Consejo

En órbitas más altas el satélite tiene más energía mecánica y potencial, pero menos cinética (va más despacio). "Pasar sucesivamente por el mismo punto" es el periodo orbital $T=2\pi\sqrt{r^3/GM}$ .