Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) i) Falsa. La velocidad de escape se obtiene imponiendo que la energía mecánica total sea nula (llegar al infinito con velocidad cero):$$\tfrac{1}{2}m\,v_e^2 - \frac{G\,M\,m}{R} = 0$$La masa $m$ del cuerpo se cancela en ambos términos:$$v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}$$La velocidad de escape depende solo del planeta (de su masa $M$ y su radio $R$), no del cuerpo que escapa. Los dos cuerpos necesitan exactamente la misma velocidad, unos $11{,}2\,\text{km}\,\text{s}^{-1}$ en el caso de la Tierra, sea un satélite o una molécula de gas.

a) ii) Falsa. Aquí ocurre lo contrario. La energía cinética necesaria es$$E_c = \tfrac{1}{2}m\,v_e^2 = \frac{G\,M\,m}{R}$$y ahora la masa sí aparece: es directamente proporcional a ella. El cuerpo de masa $2m$ necesita el doble de energía:$$\frac{E_{c,2}}{E_{c,1}} = \frac{2m}{m} = 2$$Ambas afirmaciones son falsas, y precisamente por lo contrario una de otra. La lectura conjunta es la que importa: misma velocidad, distinta energía. No hay contradicción, porque la energía cinética depende de la masa aunque la velocidad sea la misma.

b) i) De la condición de órbita circular obtenemos el radio:$$v = \sqrt{\frac{G\,M_T}{r}} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{G\,M_T}{v^2}$$Con $G\,M_T = 3{,}989\cdot 10^{14}$:$$r = \frac{3{,}989\cdot 10^{14}}{(4000)^2} = \frac{3{,}989\cdot 10^{14}}{1{,}6\cdot 10^{7}} = 2{,}493\cdot 10^{7}\ \text{m}$$Y ahora el periodo, como movimiento circular uniforme:$$T = \frac{2\pi\,r}{v} = \frac{2\pi\cdot 2{,}493\cdot 10^{7}}{4000} = \frac{1{,}566\cdot 10^{8}}{4000}$$$$T = 3{,}92\cdot 10^{4}\ \text{s} = 10{,}9\ \text{horas}$$No es geoestacionario. Un satélite geoestacionario debe tener un periodo de exactamente 24 horas, el mismo que la rotación terrestre, para permanecer siempre sobre el mismo punto del ecuador. Éste completa una vuelta en menos de $11$ horas, así que da algo más de dos vueltas al día y se desplaza continuamente respecto a la superficie.

(Para ser geoestacionario tendría que orbitar a $r = 4{,}22\cdot 10^{7}\,\text{m}$, con una velocidad de unos $3070\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$: más lejos y más despacio.)

b) ii) Para un satélite en órbita circular, la energía mecánica es$$E_m = E_c + E_p = \tfrac{1}{2}m\,v^2 - \frac{G\,M_T\,m}{r} = -\frac{G\,M_T\,m}{2\,r}$$La vía más rápida aprovecha que $E_m = -E_c$:$$E_m = -\tfrac{1}{2}m\,v^2 = -0{,}5\cdot 500\cdot (4000)^2 = -0{,}5\cdot 500\cdot 1{,}6\cdot 10^{7}$$$$E_m = -4{,}0\cdot 10^{9}\ \text{J}$$Comprobación por la otra vía: $-GM_Tm/(2r) = -3{,}989\cdot 10^{14}\cdot 500/(2\cdot 2{,}493\cdot 10^{7}) = -4{,}0\cdot 10^{9}\,\text{J}$ ✓.

El signo negativo indica que el satélite está ligado al campo gravitatorio terrestre: harían falta esos $4\cdot 10^{9}\,\text{J}$ para liberarlo.