Campo y potencial gravitatorio

a) Para un planeta de masa $m$ en órbita circular de radio $r$ alrededor de una estrella de masa $M$, la gravedad hace de fuerza centrípeta:$$\frac{G M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad E_c = \tfrac{1}{2}m v^2 = \frac{G M m}{2\,r}$$i) Con masas iguales, $E_c \propto 1/r$. Como $r_A > r_B$, resulta $E_{c,A} < E_{c,B}$: tiene mayor energía cinética el planeta $B$, el de la órbita interior. Los planetas más cercanos a su estrella orbitan más deprisa (es lo que refleja la tercera ley de Kepler).

ii) Con radios iguales, $E_c \propto m$. Como $m_B > m_A$, de nuevo$$E_{c,B} > E_{c,A}$$Tiene mayor energía cinética el planeta $B$. Aquí ambos llevan la misma velocidad (no depende de la masa del planeta), pero $B$ tiene más masa.

b) i) La gravedad en la superficie de un planeta es $g = \dfrac{G M}{R^2}$. Comparando Saturno con la Tierra:$$\frac{g_S}{g_T} = \frac{M_S}{M_T}\cdot\left(\frac{R_T}{R_S}\right)^2$$Como su diámetro es $8$ veces mayor, también lo es su radio: $R_S = 8\,R_T$. Y $M_S = 95\,M_T$:$$\frac{g_S}{g_T} = \frac{95}{8^2} = \frac{95}{64} = 1{,}484$$$$g_S = 1{,}484\cdot 9{,}8 = 14{,}5\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$b) ii) Para la velocidad de escape necesitamos el radio de Saturno en metros, que se obtiene ahora de la propia definición de $g_S$ con los datos absolutos:$$g_S = \frac{G\,M_S}{R_S^2} \quad\Longrightarrow\quad R_S = \sqrt{\frac{G\,M_S}{g_S}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}69\cdot 10^{26}}{14{,}5}}$$$$R_S = \sqrt{2{,}61\cdot 10^{15}} = 5{,}11\cdot 10^{7}\ \text{m}$$(unos $51\,000\,\text{km}$, razonable para Saturno). La velocidad de escape sale de imponer energía mecánica total nula:$$\tfrac{1}{2}m v_e^2 - \frac{G M_S m}{R_S} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M_S}{R_S}} = \sqrt{2\,g_S\,R_S}$$$$v_e = \sqrt{2\cdot 14{,}5\cdot 5{,}11\cdot 10^{7}} = \sqrt{1{,}49\cdot 10^{9}}$$$$v_e = 3{,}85\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1} \approx 38{,}5\ \text{km}\,\text{s}^{-1}$$