Campo y potencial gravitatorio

a) Verdadera. Sea $x$ la distancia del punto a la masa pequeña $m$; la distancia a la masa $4m$ es $d - x$. El campo se anula donde los dos módulos coinciden:$$\frac{G\,m}{x^2} = \frac{G\,4m}{(d-x)^2}$$Simplificando $G$ y $m$:$$(d - x)^2 = 4\,x^2 \quad\Longrightarrow\quad d - x = 2\,x$$(se toma la raíz positiva, porque el punto está entre ambas masas y $d - x > 0$)$$d = 3\,x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{d}{3}$$Efectivamente, el punto de campo nulo está a $d/3$ de la masa pequeña y a $2d/3$ de la grande. La afirmación es verdadera.

Merece la pena fijarse en la lógica: el punto queda más cerca de la masa pequeña, porque su campo es más débil y necesita "acercarse" para compensar. Y la proporción no es $1{:}4$ sino $1{:}2$, la raíz de la razón de masas, porque el campo va con el inverso del cuadrado de la distancia.

b) i) Calculamos por separado el campo que crea cada masa en $C(0,3)$.

Campo de $m_1$ (situada en $A(0,0)$). El vector que va de $C$ a $A$ es $(0,-3)$, de módulo $r_1 = 3\,\text{m}$. El campo apunta hacia $A$, es decir, verticalmente hacia abajo:$$|\vec{g}_1| = \frac{G\,m_1}{r_1^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 10}{9} = 7{,}41\cdot 10^{-11}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$$$\vec{g}_1 = -7{,}41\cdot 10^{-11}\ \vec{j}$$Campo de $m_2$ (situada en $B(4,3)$). El vector de $C$ a $B$ es $(4,0)$, de módulo $r_2 = 4\,\text{m}$. El campo apunta hacia $B$, horizontalmente hacia la derecha:$$|\vec{g}_2| = \frac{G\,m_2}{r_2^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 30}{16} = 1{,}251\cdot 10^{-10}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$$$\vec{g}_2 = +1{,}251\cdot 10^{-10}\ \vec{i}$$Campo resultante. Los dos vectores son perpendiculares, así que se suman directamente por componentes:$$\vec{g} = 1{,}251\cdot 10^{-10}\ \vec{i} - 7{,}41\cdot 10^{-11}\ \vec{j}\ \ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$$$|\vec{g}| = \sqrt{(1{,}251\cdot 10^{-10})^2 + (7{,}41\cdot 10^{-11})^2} = 1{,}45\cdot 10^{-10}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$Y el ángulo respecto al eje $+X$:$$\alpha = \arctan\frac{-7{,}41\cdot 10^{-11}}{1{,}251\cdot 10^{-10}} = -30{,}7^\circ$$Dibujo: desde $C$, un vector hacia abajo (hacia $A$) y otro hacia la derecha (hacia $B$), algo mayor; la resultante es la diagonal del rectángulo que forman, apuntando hacia abajo y a la derecha, unos $31^\circ$ por debajo de la horizontal.

b) ii) Calculamos los potenciales en ambos puntos.

En $C(0,3)$: $r_{AC} = 3\,\text{m}$ y $r_{BC} = 4\,\text{m}$.$$V_C = -G\left(\frac{10}{3} + \frac{30}{4}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\,(3{,}333 + 7{,}5) = -7{,}226\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$En $D(4,0)$: $r_{AD} = 4\,\text{m}$ y $r_{BD} = 3\,\text{m}$.$$V_D = -G\left(\frac{10}{4} + \frac{30}{3}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\,(2{,}5 + 10) = -8{,}338\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$El trabajo de la fuerza gravitatoria al ir de $C$ a $D$:$$W_{C\to D} = m_3\,(V_C - V_D) = 2\cdot(-7{,}226\cdot 10^{-10} + 8{,}338\cdot 10^{-10})$$$$W_{C\to D} = 2\cdot 1{,}112\cdot 10^{-10} = 2{,}22\cdot 10^{-10}\ \text{J}$$Interpretación del signo. El trabajo es positivo: $D$ está a un potencial más negativo que $C$, es decir, más "hundido" en el pozo gravitatorio. La masa se mueve espontáneamente en esa dirección y el campo realiza trabajo a su favor. La razón geométrica es clara: en $D$ está a $3\,\text{m}$ de la masa grande ($30\,\text{kg}$), mientras que en $C$ estaba a $4\,\text{m}$.