Campo y potencial gravitatorio

a) Un cuerpo escapa de un planeta cuando su energía mecánica total es nula (llega al infinito con velocidad cero):$$\tfrac{1}{2}m\,v_e^2 - \frac{G\,M\,m}{R} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}}$$Elevando al cuadrado y dividiendo las expresiones de ambos planetas:$$\left(\frac{v_{e,B}}{v_{e,A}}\right)^2 = \frac{M_B}{M_A}\cdot\frac{R_A}{R_B}$$Con $v_{e,B} = 3\,v_{e,A}$ y $M_B = \tfrac{1}{2}M_A$:$$3^2 = \frac{1}{2}\cdot\frac{R_A}{R_B} \quad\Longrightarrow\quad \frac{R_A}{R_B} = 2\cdot 9 = 18$$$$R_A = 18\,R_B$$El planeta $A$ tiene un radio dieciocho veces mayor que el de $B$. Tiene sentido: $B$ es menos masivo y aun así cuesta mucho más escapar de él, lo que solo es posible si es mucho más compacto.

Comprobación: con $M_B = M_A/2$ y $R_B = R_A/18$,$$\frac{v_{e,B}^2}{v_{e,A}^2} = \frac{M_A/2}{M_A}\cdot\frac{R_A}{R_A/18} = \frac{1}{2}\cdot 18 = 9 \quad\Longrightarrow\quad \frac{v_{e,B}}{v_{e,A}} = 3 \quad\checkmark$$b) i) Primero calculamos la gravedad terrestre a partir de los datos:$$g_T = \frac{G\,M_T}{R_T^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}{(6{,}37\cdot 10^{6})^2} = \frac{3{,}99\cdot 10^{14}}{4{,}06\cdot 10^{13}} = 9{,}83\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$El radio del planeta es el $80\,\%$ del terrestre:$$R_p = 0{,}8\,R_T = 0{,}8\cdot 6{,}37\cdot 10^{6} = 5{,}10\cdot 10^{6}\ \text{m}$$Como la gravedad en su superficie es la misma, $g_p = g_T$, y de $g = GM/R^2$:$$M_p = \frac{g_p\,R_p^2}{G} = \frac{9{,}83\cdot (5{,}10\cdot 10^{6})^2}{6{,}67\cdot 10^{-11}}$$$$M_p = 3{,}83\cdot 10^{24}\ \text{kg}$$Vía más rápida: como $M \propto g R^2$ y $g_p = g_T$,$$\frac{M_p}{M_T} = \left(\frac{R_p}{R_T}\right)^2 = 0{,}8^2 = 0{,}64 \quad\Longrightarrow\quad M_p = 0{,}64\cdot 5{,}98\cdot 10^{24} = 3{,}83\cdot 10^{24}\ \text{kg}\quad\checkmark$$b) ii) Velocidad de escape, usando $G M_p = g_p R_p^2$:$$v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M_p}{R_p}} = \sqrt{2\,g_p\,R_p} = \sqrt{2\cdot 9{,}83\cdot 5{,}10\cdot 10^{6}}$$$$v_e = \sqrt{1{,}00\cdot 10^{8}} = 1{,}00\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Unos $10\,\text{km}\,\text{s}^{-1}$, algo menor que la terrestre ($11{,}2\,\text{km}\,\text{s}^{-1}$): tiene la misma gravedad superficial pero es más pequeño, así que hay que "subir" menos para escapar.