Campo y potencial gravitatorio

a) El campo sí se anula. En un punto del segmento, el campo creado por cada masa apunta hacia ella, es decir, en sentidos opuestos: pueden cancelarse. Si $x$ es la distancia a la masa $m$:$$\frac{G\,m}{x^2} = \frac{G\,2m}{(d-x)^2} \quad\Longrightarrow\quad (d-x)^2 = 2\,x^2 \quad\Longrightarrow\quad d - x = \sqrt{2}\,x$$$$x = \frac{d}{1+\sqrt{2}} = 0{,}414\,d$$El punto está más cerca de la masa menor, como cabía esperar. En el esquema se dibujan los dos vectores en ese punto, iguales en módulo y opuestos.

El potencial no se anula. El potencial de cada masa es$$V = -\frac{G\,m}{r} < 0$$y la suma de dos cantidades negativas nunca puede dar cero. Solo tiende a cero en el infinito.

b) i) Distancias desde $C(0,1)$ a cada masa:$$r_{AC} = r_{BC} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} = 1{,}414\ \text{m} \qquad r^2 = 2\ \text{m}^2$$Módulo del campo creado por cada una:$$g_A = g_B = \frac{G\cdot 2}{2} = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$Cada campo apunta desde $C$ hacia su masa, con unitarios$$\hat{u}_{CA} = \frac{(1,-1)}{\sqrt{2}} = (0{,}707;\ -0{,}707) \qquad \hat{u}_{CB} = \frac{(-1,-1)}{\sqrt{2}} = (-0{,}707;\ -0{,}707)$$Las componentes horizontales se cancelan y las verticales se suman:$$\vec{g}_C = 2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot(-0{,}707)\ \vec{j} = -9{,}43\cdot 10^{-11}\ \vec{j}\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$La fuerza sobre la masa $M = 1\,\text{kg}$ es$$\vec{F} = M\,\vec{g}_C = -9{,}43\cdot 10^{-11}\ \vec{j}\ \ \text{N}$$dirigida verticalmente hacia abajo, hacia el punto medio de $AB$.

b) ii) Potencial en $C$ (escalar, ambas masas a $\sqrt{2}$):$$V_C = -2\,\frac{G\cdot 2}{\sqrt{2}} = -2\cdot\frac{1{,}334\cdot 10^{-10}}{1{,}414} = -1{,}89\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$Potencial en el origen $O(0,0)$, con ambas masas a $1\,\text{m}$:$$V_O = -2\,\frac{G\cdot 2}{1} = -2{,}67\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$Trabajo de la fuerza gravitatoria al desplazar $M$ de $C$ a $O$:$$W_{C\to O} = M\,(V_C - V_O) = 1\cdot\bigl(-1{,}89\cdot 10^{-10} + 2{,}67\cdot 10^{-10}\bigr)$$$$W_{C\to O} = 7{,}81\cdot 10^{-11}\ \text{J}$$Es positivo: el origen está más cerca de ambas masas, su potencial es menor y el desplazamiento es espontáneo, impulsado por la propia atracción gravitatoria.