Campo y potencial gravitatorio

a) i) El campo gravitatorio en la superficie de un planeta es$$g = \frac{G\,M}{R^2}$$Con $M_A = 3\,M_B$ y $R_A = 2\,R_B$:$$\frac{g_A}{g_B} = \frac{M_A}{M_B}\cdot\left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2 = 3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$$$$g_A = 0{,}75\,g_B$$Los dos efectos compiten: A tiene más masa (lo que aumentaría $g$) pero también más radio (lo que la reduce). Gana el radio, porque entra al cuadrado, y el campo superficial de A resulta menor que el de B.

a) ii) El potencial gravitatorio en la superficie es$$V = -\frac{G\,M}{R}$$Ahora el radio entra elevado a uno, no al cuadrado:$$\frac{V_A}{V_B} = \frac{M_A}{M_B}\cdot\frac{R_B}{R_A} = 3\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$$$V_A = 1{,}5\,V_B$$Conviene interpretar el resultado con cuidado, porque ambos potenciales son negativos: que el cociente valga $1{,}5$ significa que $V_A$ es 1,5 veces más negativo que $V_B$. En otras palabras, el potencial de A es menor (más profundo el pozo gravitatorio), aunque su campo superficial sea más débil.

El contraste entre los dos apartados es el interés del ejercicio: el campo de A es menor pero su potencial es más negativo. No hay contradicción; simplemente el radio interviene con exponentes distintos en cada magnitud.

b) i) Calculamos por separado la contribución de cada masa en el punto $P(4,0)$.

Masa en $(0,0)$. El vector de $P$ hacia ella es $(-4, 0)$, de módulo $r_1 = 4\,\text{m}$:$$|\vec{g}_1| = \frac{G\,M}{r_1^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1000}{16} = 4{,}169\cdot 10^{-9}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$El campo apunta hacia la masa, es decir, en el sentido $-X$:$$\vec{g}_1 = (-4{,}169\cdot 10^{-9};\ 0)$$Masa en $(0,3)$. El vector de $P$ hacia ella es $(-4, 3)$, de módulo$$r_2 = \sqrt{16 + 9} = 5\ \text{m} \qquad r_2^2 = 25\ \text{m}^2$$$$|\vec{g}_2| = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1000}{25} = 2{,}668\cdot 10^{-9}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$Con vector unitario $(-4,3)/5 = (-0{,}8;\ 0{,}6)$:$$\vec{g}_2 = 2{,}668\cdot 10^{-9}\,(-0{,}8;\ 0{,}6) = (-2{,}134\cdot 10^{-9};\ 1{,}601\cdot 10^{-9})$$Campo total. Sumando componente a componente:$$g_x = -4{,}169\cdot 10^{-9} - 2{,}134\cdot 10^{-9} = -6{,}30\cdot 10^{-9}$$$$g_y = 0 + 1{,}601\cdot 10^{-9} = 1{,}60\cdot 10^{-9}$$$$\vec{g} = (-6{,}30\cdot 10^{-9}\,\vec{i} + 1{,}60\cdot 10^{-9}\,\vec{j})\ \ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$$$|\vec{g}| = \sqrt{(6{,}30\cdot 10^{-9})^2 + (1{,}60\cdot 10^{-9})^2} = 6{,}50\cdot 10^{-9}\ \text{m}\,\text{s}^{-2}$$Representación: desde $P(4,0)$, un vector horizontal hacia la izquierda (hacia la masa del origen) y otro más corto en diagonal hacia arriba y a la izquierda (hacia la otra masa). La resultante apunta claramente hacia la izquierda, ligeramente inclinada hacia arriba, formando unos $14^\circ$ con el eje $-X$.

b) ii) La fuerza sobre la masa de $50\,\text{kg}$ es el campo multiplicado por ella:$$\vec{F} = m\,\vec{g} = 50\cdot(-6{,}30\cdot 10^{-9};\ 1{,}60\cdot 10^{-9})$$$$\vec{F} = (-3{,}15\cdot 10^{-7}\,\vec{i} + 8{,}00\cdot 10^{-8}\,\vec{j})\ \ \text{N}$$$$|\vec{F}| = 50\cdot 6{,}50\cdot 10^{-9} = 3{,}25\cdot 10^{-7}\ \text{N}$$con la misma dirección y sentido que el campo.