Campo y potencial gravitatorio

a) La velocidad de escape desde una distancia $r$ del centro de la Tierra es la mínima que permite al cuerpo llegar al infinito con velocidad nula ($E_m = 0$):$$\tfrac12 m v_e^2 - \frac{GM_Tm}{r} = 0\;\Rightarrow\; v_e = \sqrt{\frac{2GM_T}{r}}\;\propto\;\frac{1}{\sqrt r}$$Comparando la órbita (radio $r$) con la superficie (radio $R_T$):$$\frac{v_e(\text{órbita})}{v_e(\text{superficie})} = \sqrt{\frac{R_T}{r}} = \frac12 \Rightarrow \frac{R_T}{r} = \frac14 \Rightarrow r = 4R_T$$$$h = r - R_T = 3R_T$$El satélite orbita a una altura igual a tres radios terrestres sobre la superficie. (El ejercicio no da $R_T$; con $R_T\approx6370\,\text{km}$, $h\approx1{,}91\cdot10^{4}\,\text{km}$.)

b.i) De $g_0 = GM/R^2$ con $R = 2{,}2\cdot10^{6}\,\text{m}$:$$M = \frac{g_0 R^2}{G} = \frac{5{,}2\cdot(2{,}2\cdot10^{6})^2}{6{,}67\cdot10^{-11}} = 3{,}77\cdot10^{23}\ \text{kg}$$b.ii) Velocidad de escape desde la superficie, $v_e = \sqrt{2GM/R}$; como $GM = g_0R^2$:$$v_e = \sqrt{2 g_0 R} = \sqrt{2\cdot5{,}2\cdot 2{,}2\cdot10^{6}} = 4{,}78\cdot10^{3}\ \text{m s}^{-1}$$