Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) Al soltarse desde el reposo y no haber rozamiento, la energía mecánica se conserva y toda la potencial se convierte en cinética:$$m\,g\,h = \tfrac{1}{2}m\,v^2$$i) La energía cinética al llegar abajo es$$E_c = m\,g\,h$$directamente proporcional a la masa. Con $m_2 = 3\,m_1$ y la misma altura:$$\frac{E_{c,2}}{E_{c,1}} = \frac{3m\,g\,h}{m\,g\,h} = 3 \qquad\Longrightarrow\qquad E_{c,2} = 3\,E_{c,1}$$El bloque de $3m$ llega con el triple de energía cinética.

ii) Al despejar la velocidad, la masa se cancela:$$v = \sqrt{2\,g\,h}$$$$v_1 = v_2$$Los dos bloques llegan abajo con la misma velocidad, independientemente de su masa. Es el mismo motivo por el que todos los cuerpos caen con idéntica aceleración: la masa aparece tanto en la energía potencial como en la cinética y se simplifica.

b) i) La rampa es lisa, así que la energía mecánica se conserva. La altura de la que parte el cuerpo se obtiene proyectando la distancia recorrida sobre el plano:$$h = d\,\text{sen}\,45^\circ = 10\cdot 0{,}707 = 7{,}07\ \text{m}$$$$\tfrac{1}{2}m v^2 = m\,g\,h \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 7{,}07} = \sqrt{138{,}6}$$$$v = 11{,}8\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$b) ii) En el tramo horizontal, la normal vale $N = mg$ y el rozamiento disipa toda la energía cinética que traía el cuerpo, hasta detenerlo:$$\tfrac{1}{2}m v^2 = \mu\,m\,g\,d_{\text{horiz}}$$De nuevo la masa se cancela:$$\mu = \frac{v^2}{2\,g\,d_{\text{horiz}}} = \frac{138{,}6}{2\cdot 9{,}8\cdot 20} = \frac{138{,}6}{392}$$$$\mu = 0{,}354$$