Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) La fuerza gravitatoria que el Sol ejerce sobre la Tierra es central: su línea de acción pasa siempre por el Sol. Su momento respecto a ese punto es, por tanto, nulo:$$\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F} = \vec{0} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{0} \quad\Longrightarrow\quad \vec{L} = \text{constante}$$En el perihelio y en el afelio la velocidad es perpendicular al vector de posición (son los extremos del eje mayor), de modo que el módulo del momento angular vale simplemente $L = m\,v\,r$. Igualando en ambos puntos:$$m\,v_P\,r_P = m\,v_A\,r_A \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\frac{v_P}{v_A} = \frac{r_A}{r_P}}$$Como el perihelio es el punto más cercano, $r_P < r_A$, el cociente $r_A/r_P > 1$ y por tanto$$v_P > v_A$$La Tierra se desplaza más rápidamente en el perihelio. Es la traducción de la segunda ley de Kepler: para barrer áreas iguales en tiempos iguales, cuando el radio es corto la velocidad debe ser grande.

b) i) La energía mecánica se conserva (no hay rozamiento). Entre la superficie y el punto más alto, donde la velocidad es nula:$$\tfrac{1}{2}m v_0^2 - \frac{G M_T m}{R_T} = 0 - \frac{G M_T m}{r_{\text{máx}}}$$Simplificando $m$ y despejando:$$\frac{G M_T}{r_{\text{máx}}} = \frac{G M_T}{R_T} - \frac{v_0^2}{2}$$Con $G M_T = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24} = 3{,}99\cdot 10^{14}$:$$\frac{G M_T}{R_T} = \frac{3{,}99\cdot 10^{14}}{6{,}37\cdot 10^{6}} = 6{,}26\cdot 10^{7} \qquad \frac{v_0^2}{2} = \frac{(2\cdot 10^{3})^2}{2} = 2\cdot 10^{6}$$$$\frac{G M_T}{r_{\text{máx}}} = 6{,}26\cdot 10^{7} - 2\cdot 10^{6} = 6{,}06\cdot 10^{7}$$$$r_{\text{máx}} = \frac{3{,}99\cdot 10^{14}}{6{,}06\cdot 10^{7}} = 6{,}58\cdot 10^{6}\ \text{m}$$La altura sobre la superficie es$$h = r_{\text{máx}} - R_T = 6{,}58\cdot 10^{6} - 6{,}37\cdot 10^{6} = 2{,}10\cdot 10^{5}\ \text{m} \approx 210\ \text{km}$$(La aproximación de campo uniforme, con $g_0 = GM_T/R_T^2 = 9{,}83\,\text{m}\,\text{s}^{-2}$, daría $h = v_0^2/2g_0 = 203\,\text{km}$: un $3\,\%$ menos. Se parece, pero el enunciado da $G$ y $M_T$ precisamente para que se haga bien.)

b) ii) La velocidad de escape desde una distancia $r$ del centro de la Tierra se obtiene imponiendo energía mecánica total nula:$$\tfrac{1}{2}m v_e^2 - \frac{G M_T m}{r_{\text{máx}}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M_T}{r_{\text{máx}}}}$$$$v_e = \sqrt{\frac{2\cdot 3{,}99\cdot 10^{14}}{6{,}58\cdot 10^{6}}} = \sqrt{1{,}21\cdot 10^{8}}$$$$v_e = 1{,}10\cdot 10^{4}\ \text{m}\,\text{s}^{-1} \approx 11{,}0\ \text{km}\,\text{s}^{-1}$$Ligeramente menor que los $11{,}2\,\text{km}\,\text{s}^{-1}$ desde la superficie, como corresponde a estar algo más lejos.