FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Campo y potencial gravitatorio

Andalucía · 2017 · Reserva 3 · Opción A

Enunciado

a) Dibuje en un esquema las líneas del campo gravitatorio creado por una masa puntual

M

. Otra masa puntual

m

se traslada desde un punto

A

hasta otro

B

, más alejado de

M

. Razone si aumenta o disminuye su energía potencial.

b) Dos esferas de

100\,\text{kg}

se encuentran, respectivamente, en los puntos

(0,-3)\,\text{m}

(0,3)\,\text{m}

. Determine el campo gravitatorio creado por ambas en el punto

(4,0)\,\text{m}

.

Dato:

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;E_p \text{ aumenta al pasar de } A \text{ a } B\;}

\boxed{\;\vec{g} = -4{,}27\cdot 10^{-10}\ \vec{i}\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1} \qquad |\vec{g}| = 4{,}27\cdot 10^{-10}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En el apartado a) basta con recordar cómo es el campo de una masa aislada: las líneas son radiales y entran hacia

M

, porque la gravedad siempre atrae. El potencial gravitatorio es negativo y crece (se acerca a cero) al alejarnos, y como

E_p = m V

, alejarse significa subir de energía potencial.

En el apartado b) hay dos masas iguales colocadas simétricamente respecto al eje

X

, y el punto pedido está justo sobre ese eje. Esa simetría es toda la solución: las componentes verticales de los dos campos se cancelan y solo sobrevive la horizontal. Conviene dibujar los dos vectores antes de tocar la calculadora.

Desarrollo

a) Las líneas del campo creado por

M

son rectas radiales dirigidas hacia la masa (la gravedad es siempre atractiva), más juntas cerca de

M

y más separadas lejos, porque el campo decrece como

1/r^2

.

El potencial creado por

M

a una distancia

r

vale

V = -\frac{G M}{r}

y la energía potencial de la masa

m

E_p = m V = -\dfrac{G M m}{r}

.

Si

B

está más lejos que

A

(

r_B > r_A

), entonces

\dfrac{1}{r_B} < \dfrac{1}{r_A}

E_p(B) = -\frac{G M m}{r_B} \;>\; -\frac{G M m}{r_A} = E_p(A)

Los dos valores son negativos, pero el de

B

es menos negativo: la energía potencial aumenta al alejarse. Tiene sentido, porque para separar las masas hay que hacer trabajo contra la atracción.

b) Llamemos

m_1

a la masa situada en

(0,-3)

m_2

a la de

(0,3)

, con

m_1 = m_2 = 100\,\text{kg}

, y sea

P = (4,0)\,\text{m}

.

Distancia de cada masa al punto:

r_1 = r_2 = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\,\text{m}

Módulo del campo que crea cada una:

g_1 = g_2 = \frac{G m}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 100}{5^2} = 2{,}67\cdot 10^{-10}\,\text{N}\,\text{kg}^{-1}

Cada campo apunta desde el punto hacia su masa. Los vectores unitarios son

\hat{u}_1 = \frac{(0,-3)-(4,0)}{5} = \left(-\tfrac{4}{5},\, -\tfrac{3}{5}\right) \qquad \hat{u}_2 = \frac{(0,3)-(4,0)}{5} = \left(-\tfrac{4}{5},\, +\tfrac{3}{5}\right)

Al sumar, las componentes

y

son opuestas y se anulan; las componentes

x

se suman:

\vec{g} = 2\,g_1\left(-\tfrac{4}{5}\right)\vec{i} = -2\cdot 2{,}67\cdot 10^{-10}\cdot 0{,}8\ \vec{i}

\vec{g} = -4{,}27\cdot 10^{-10}\ \vec{i}\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error clásico en a) es decir que la energía potencial disminuye "porque es negativa". Compara los números con signo: $-2$ es mayor que $-5$ . Al alejarse, $E_p$ sube hacia cero.

En b), no sumes módulos: $2{,}67 + 2{,}67 = 5{,}34$ estaría mal. Hay que proyectar cada vector, y aquí queda $2g\cos\alpha$ con $\cos\alpha = 4/5$ . Y di siempre el sentido: el campo apunta hacia el origen, en el sentido negativo del eje $X$ .