Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) i) Definiciones:

• Energía cinética: la que posee un cuerpo por el hecho de moverse. Para una partícula de masa $m$ y velocidad $v$,

$$E_c = \tfrac{1}{2}m\,v^2$$

• Energía potencial: la asociada a la posición de un cuerpo dentro de un campo de fuerzas conservativas. Se define a partir del trabajo de esas fuerzas mediante $W_{\text{c}} = -\Delta E_p$. (Por ejemplo, $E_p = mgh$ cerca de la superficie terrestre.)

• Energía mecánica: la suma de ambas,

$$E_m = E_c + E_p$$Cuando solo actúan fuerzas conservativas, del teorema de las fuerzas vivas ($W_{\text{total}} = \Delta E_c$) y de la definición de energía potencial ($W_{\text{c}} = -\Delta E_p$) se obtiene$$\Delta E_c = -\Delta E_p \quad\Longrightarrow\quad \Delta E_m = \Delta E_c + \Delta E_p = 0$$es decir, la energía mecánica se conserva: solo se transforma energía cinética en potencial y viceversa.

a) ii) Si además actúan fuerzas no conservativas (rozamiento, fuerzas aplicadas...), el trabajo total se reparte:$$W_{\text{total}} = W_{\text{c}} + W_{\text{nc}} = \Delta E_c$$y sustituyendo $W_{\text{c}} = -\Delta E_p$:$$\boxed{W_{\text{nc}} = \Delta E_c + \Delta E_p = \Delta E_m}$$La energía mecánica ya no se conserva: varía exactamente en el trabajo de las fuerzas no conservativas. Si ese trabajo es negativo (rozamiento), la energía mecánica disminuye y se disipa en forma de calor; si es positivo (una fuerza que impulsa), aumenta.

b) Al ser el plano horizontal, la normal equilibra al peso:$$N = m\,g = 3\cdot 9{,}8 = 29{,}4\ \text{N}$$Fuerza de rozamiento:$$F_r = \mu\,N = 0{,}2\cdot 29{,}4 = 5{,}88\ \text{N}$$i) El rozamiento se opone al movimiento, así que su trabajo es negativo:$$W_{F_r} = -F_r\,d = -5{,}88\cdot 10$$$$W_{F_r} = -58{,}8\ \text{J}$$ii) Trabajo de la fuerza aplicada (paralela al plano y al desplazamiento):$$W_F = F\,d = 12\cdot 10 = 120\ \text{J}$$El peso y la normal son perpendiculares al desplazamiento y no trabajan. Por el teorema de las fuerzas vivas, con el cuerpo inicialmente en reposo:$$W_{\text{total}} = W_F + W_{F_r} = \Delta E_c = \tfrac{1}{2}m v^2 - 0$$$$120 - 58{,}8 = 61{,}2\ \text{J} = \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot v^2$$$$v = \sqrt{\frac{2\cdot 61{,}2}{3}} = \sqrt{40{,}8}$$$$v = 6{,}39\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$