Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) i) El campo gravitatorio en la superficie de un planeta es$$g = \frac{G\,M}{R^2}$$Con $M_A = 3\,M_B$ y $R_A = 2\,R_B$:$$\frac{g_A}{g_B} = \frac{M_A}{M_B}\cdot\left(\frac{R_B}{R_A}\right)^2 = 3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$$$$g_A = 0{,}75\,g_B$$Aquí los dos efectos compiten: A tiene más masa (lo que aumentaría $g$) pero también más radio (lo que la reduce). Gana el radio, porque entra al cuadrado, y el campo de A resulta menor.

a) ii) Los satélites orbitan a una altura sobre la superficie igual al radio de su planeta, así que el radio de cada órbita es$$r_A = 2\,R_A \qquad r_B = 2\,R_B$$La velocidad orbital es $v = \sqrt{GM/r}$, luego$$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{M_A}{M_B}\cdot\frac{r_B}{r_A}} = \sqrt{3\cdot\frac{2R_B}{2R_A}} = \sqrt{3\cdot\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$$$$\frac{v_A}{v_B} = 1{,}22$$El satélite del planeta A se mueve un $22\,\%$ más rápido. Nótese que el factor $2$ de las alturas se cancela al aparecer en ambos radios: solo queda la relación entre los radios de los planetas.

b) i) El periodo es $T = 16\cdot 3600 = 5{,}76\cdot 10^{4}\,\text{s}$. De la tercera ley de Kepler,$$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\,M_T}} \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt[3]{\frac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2}}$$Con $G\,M_T = 3{,}989\cdot 10^{14}$ y $T^2 = 3{,}318\cdot 10^{9}$:$$r = \sqrt[3]{\frac{3{,}989\cdot 10^{14}\cdot 3{,}318\cdot 10^{9}}{39{,}48}} = \sqrt[3]{3{,}352\cdot 10^{22}}$$$$r = 3{,}224\cdot 10^{7}\ \text{m}$$Pero ése es el radio medido desde el centro de la Tierra. La altura sobre la superficie es$$h = r - R_T = 3{,}224\cdot 10^{7} - 6{,}37\cdot 10^{6}$$$$h = 2{,}59\cdot 10^{7}\ \text{m} = 25873\ \text{km}$$b) ii) Para un satélite en órbita circular, la energía mecánica es la mitad de la potencial:$$E_m = E_c + E_p = \frac{G\,M_T\,m}{2\,r} - \frac{G\,M_T\,m}{r} = -\frac{G\,M_T\,m}{2\,r}$$$$E_m = -\frac{3{,}989\cdot 10^{14}\cdot 500}{2\cdot 3{,}224\cdot 10^{7}} = -\frac{1{,}994\cdot 10^{17}}{6{,}449\cdot 10^{7}}$$$$E_m = -3{,}09\cdot 10^{9}\ \text{J}$$El signo negativo es esencial: indica que el satélite está ligado al campo gravitatorio terrestre. Para liberarlo habría que aportarle esos $3{,}09\cdot 10^{9}\,\text{J}$ y llevarlo hasta el infinito con velocidad nula.