Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) El satélite describe una órbita circular de radio$$r = R + h$$Energía cinética. La fuerza gravitatoria hace de centrípeta:$$\frac{G M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad E_c = \tfrac{1}{2}m v^2 = \frac{G M m}{2\,r}$$Energía potencial. Con la referencia $E_p = 0$ en el infinito:$$E_p = -\frac{G M m}{r}$$Energía mecánica:$$E = E_c + E_p = \frac{G M m}{2r} - \frac{G M m}{r} = -\frac{G M m}{2 r}$$$$\boxed{E = -\frac{G\,M\,m}{2\,(R + h)}}$$Es negativa, como corresponde a un satélite ligado: su valor absoluto es la energía que habría que aportarle para que escapara.

b) i) Al subir actúan el peso y el rozamiento, ambos en contra del movimiento. Si $h$ es la altura máxima, la distancia recorrida sobre el plano es$$L = \frac{h}{\text{sen}\,30^\circ} = 2h$$y la normal vale $N = mg\cos 30^\circ$. El balance energético entre el punto de partida y el más alto (donde $v = 0$) es$$\tfrac{1}{2}m v_0^2 = m\,g\,h + \mu\,m\,g\cos 30^\circ\cdot L$$La masa se cancela y, sustituyendo $L = 2h$:$$\tfrac{1}{2}v_0^2 = g\,h + 2\,\mu\,g\cos 30^\circ\,h = h\,\bigl(g + 2\mu g\cos 30^\circ\bigr)$$$$\tfrac{1}{2}\cdot 8^2 = 32 = h\,\bigl(9{,}8 + 2\cdot 0{,}2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}866\bigr) = h\cdot 13{,}19$$$$h = 2{,}43\ \text{m}$$(y la distancia recorrida sobre el plano es $L = 2h = 4{,}85\,\text{m}$).

b) ii) En el descenso, el peso impulsa y el rozamiento sigue frenando, porque siempre se opone al movimiento:$$\tfrac{1}{2}m v^2 = m\,g\,h - \mu\,m\,g\cos 30^\circ\cdot L$$$$v = \sqrt{2\,\bigl(g\,h - \mu\,g\cos 30^\circ\cdot L\bigr)} = \sqrt{2\,(9{,}8\cdot 2{,}43 - 0{,}2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}866\cdot 4{,}85)}$$$$v = \sqrt{2\,(23{,}77 - 8{,}23)} = \sqrt{31{,}07}$$$$v = 5{,}57\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Regresa con menos velocidad de la que salió ($8\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$): el rozamiento ha disipado energía en los dos tramos.