Campo y potencial gravitatorio

a.i) Falsa. El trabajo de una fuerza es $W = \int \vec F\cdot d\vec r$, y es distinto de cero para cualquier fuerza que tenga componente en la dirección del desplazamiento, sea o no conservativa. Lo que distingue a las conservativas es que su trabajo no depende del camino (solo de los puntos inicial y final) y es nulo en una trayectoria cerrada, lo que permite definir una energía potencial con $W_c = -\Delta E_p$. Las no conservativas también trabajan: el rozamiento realiza trabajo negativo sobre un cuerpo que desliza, y la fuerza de un motor o de una persona que empuja un carro realiza trabajo positivo.

a.ii) Falsa. Por el teorema de la energía cinética, el trabajo de todas las fuerzas es $W_{\text{total}} = \Delta E_c$. Si solo actúan fuerzas conservativas, $W_{\text{total}} = W_c = -\Delta E_p$, así que$$\Delta E_c = -\Delta E_p \quad\Longrightarrow\quad \Delta(E_c + E_p) = 0$$Lo que se conserva es la energía mecánica, no la cinética: la cinética aumenta cuando la potencial disminuye y viceversa. Ejemplo: en una caída libre solo actúa el peso (conservativo) y la energía cinética del cuerpo crece a medida que baja. La $E_c$ solo sería constante si la partícula se moviera sin cambiar su energía potencial (por ejemplo, una órbita circular).

b.i) En la superficie, el peso es la fuerza gravitatoria:$$m g = \frac{G M m}{R^2}\quad\Longrightarrow\quad M = \frac{gR^2}{G} = \frac{3\cdot(2\cdot10^{6})^2}{6{,}67\cdot10^{-11}} = 1{,}80\cdot10^{23}\ \text{kg}$$b.ii) La velocidad de escape es la mínima para que el cuerpo llegue al infinito con velocidad nula, es decir, con energía mecánica total cero:$$\tfrac12 m v_e^2 - \frac{G M m}{R} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$$usando $GM = gR^2$:$$v_e = \sqrt{2\cdot3\cdot2\cdot10^{6}} = 3{,}46\cdot10^{3}\ \text{m s}^{-1}$$