Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) i) Para un satélite en órbita circular, la única fuerza que actúa es la gravitatoria, y es precisamente la que hace de centrípeta:$$\frac{G\,M\,m}{r^2} = \frac{m\,v^2}{r}$$La masa del satélite $m$ se cancela en ambos miembros, y simplificando una $r$:$$v^2 = \frac{G\,M}{r} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}}$$Dos consecuencias importantes: la velocidad orbital no depende de la masa del satélite y disminuye al alejarse del planeta, como $1/\sqrt{r}$.

a) ii) Con $r_1 = 4R$ y $r_2 = 9R$:$$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}} = \sqrt{\frac{9R}{4R}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$$$$v_1 = 1{,}5\,v_2$$El primer satélite, el de órbita menor, se mueve $1{,}5$ veces más rápido. Es el comportamiento general de las órbitas: cuanto más cerca está el satélite, más intensa es la atracción y mayor debe ser su velocidad para no caer.

b) i) De la expresión anterior despejamos el radio:$$v = \sqrt{\frac{G\,M_T}{r}} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{G\,M_T}{v^2}$$Con $G\,M_T = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24} = 3{,}989\cdot 10^{14}\ \text{m}^3\,\text{s}^{-2}$:$$r = \frac{3{,}989\cdot 10^{14}}{(6300)^2} = \frac{3{,}989\cdot 10^{14}}{3{,}969\cdot 10^{7}}$$$$r = 1{,}005\cdot 10^{7}\ \text{m} \approx 1{,}0\cdot 10^{7}\ \text{m}$$(El enunciado no da el radio terrestre; tomando $R_T\approx 6370\,\text{km}$, correspondería a una altura de unos $3680\,\text{km}$ sobre la superficie.)

b) ii) El peso de un cuerpo es la fuerza gravitatoria que actúa sobre él. En la órbita, a distancia $r$ del centro de la Tierra:$$P = \frac{G\,M_T\,m}{r^2} = \frac{3{,}989\cdot 10^{14}\cdot 500}{(1{,}005\cdot 10^{7})^2} = \frac{1{,}994\cdot 10^{17}}{1{,}010\cdot 10^{14}}$$$$P = 1{,}97\cdot 10^{3}\ \text{N}$$Comprobación: ese peso es exactamente la fuerza centrípeta que mantiene la órbita,$$F_c = \frac{m\,v^2}{r} = \frac{500\cdot 3{,}969\cdot 10^{7}}{1{,}005\cdot 10^{7}} = 1{,}97\cdot 10^{3}\ \text{N}\ \checkmark$$Conviene subrayar que el satélite sí tiene peso en órbita: no es cero, sino unos $1975\,\text{N}$, frente a los $mg_0 \approx 4900\,\text{N}$ que pesaría en la superficie. Lo que ocurre es que ese peso se invierte íntegramente en curvar su trayectoria, y por eso sus ocupantes flotan: están en caída libre permanente, no en ausencia de gravedad.