Campo y potencial gravitatorio

a) i) Sí puede. El campo gravitatorio es una magnitud vectorial, y las contribuciones de las dos masas pueden cancelarse entre sí. Eso ocurre en un punto de la recta que las une, situado entre ambas, donde los dos campos son opuestos y de igual módulo.

Siendo $m$ y $2m$ las masas y $d$ su separación, con $x$ la distancia a la masa menor:$$\frac{G\,m}{x^2} = \frac{G\,2m}{(d-x)^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d-x}{x} = \sqrt{2}$$$$x = \frac{d}{1 + \sqrt{2}} = 0{,}414\,d$$El punto existe y está más cerca de la masa pequeña (a un $41\,\%$ de la distancia), lo cual tiene sentido: su campo es más débil y necesita "acercarse" para compensar.

a) ii) No puede. El potencial es una magnitud escalar y, para la gravitación, siempre negativa:$$V = -G\left(\frac{m}{r_1} + \frac{2m}{r_2}\right) < 0 \quad\text{siempre}$$Se están sumando dos números negativos, y una suma de negativos nunca puede dar cero. El potencial gravitatorio solo se anula en el infinito, donde por convenio se sitúa el origen.

Esquema: las dos masas sobre una recta; entre ellas, el punto donde las dos flechas del campo son opuestas e iguales (campo nulo). En ese mismo punto, sin embargo, el potencial alcanza su valor menos negativo de la región intermedia, pero nunca cero.

Ésta es una diferencia esencial con el campo eléctrico, donde las cargas pueden ser de ambos signos y el potencial sí se anula a distancia finita.

b) i) Distancias desde el origen $(0,0)$:$$r_1 = 3\ \text{m}\ \text{(a la masa de 2 kg)} \qquad r_2 = 4\ \text{m}\ \text{(a la masa de 5 kg)}$$$$V_O = -G\left(\frac{2}{3} + \frac{5}{4}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\,(0{,}6667 + 1{,}25) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}9167$$$$V_O = -1{,}278\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$b) ii) Calculamos el potencial en el punto de llegada $C(4,3)$. Ahora las distancias se intercambian:$$r_1 = 4\ \text{m}\ \text{(a la masa de 2 kg, en } (0,3)) \qquad r_2 = 3\ \text{m}\ \text{(a la masa de 5 kg, en } (4,0))$$$$V_C = -G\left(\frac{2}{4} + \frac{5}{3}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\,(0{,}5 + 1{,}6667) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2{,}1667$$$$V_C = -1{,}445\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$El trabajo necesario (el que debe realizar un agente externo) es la variación de energía potencial:$$W_{\text{necesario}} = m\,(V_C - V_O) = 10\cdot(-1{,}445\cdot 10^{-10} + 1{,}278\cdot 10^{-10})$$$$W_{\text{necesario}} = 10\cdot(-1{,}668\cdot 10^{-11})$$$$W_{\text{necesario}} = -1{,}67\cdot 10^{-10}\ \text{J}$$Comentario del resultado. El signo negativo significa que no hace falta aportar energía: al contrario, el desplazamiento es espontáneo. El punto $C$ está a un potencial más negativo que el origen, es decir, más "hundido" en el pozo gravitatorio del sistema, así que la masa se mueve hacia allí por sí sola y es el campo el que realiza un trabajo positivo de $+1{,}67\cdot 10^{-10}\,\text{J}$.

La razón geométrica es clara: en $C$ la masa de $10\,\text{kg}$ está a solo $3\,\text{m}$ de la masa grande ($5\,\text{kg}$), mientras que en el origen estaba a $4\,\text{m}$. Se acerca a la masa dominante, y por eso el potencial disminuye.