Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) En la órbita circular (de radio $r$, que no cambia) la fuerza gravitatoria es la centrípeta:$$\frac{GMm}{r^2} = m\frac{v^2}{r}\ \Rightarrow\ v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$$y la energía mecánica es$$E = E_c + E_p = \frac12 m v^2 - \frac{GMm}{r} = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r}$$El radio de la Tierra no aparece en ninguna de las dos (solo importa su masa). Con $M\to2M$:

• $v' = \sqrt{\dfrac{G\,2M}{r}} = \sqrt2\,v$: la velocidad orbital aumenta en un factor $\sqrt2$.
• $E' = -\dfrac{G\,2M\,m}{2r} = 2E$: la energía mecánica se duplica; como es negativa, se hace el doble de negativa (el satélite queda más ligado).

b) $R_T = 6{,}37\cdot10^{6}\,\text{m}$, $r = 6{,}47\cdot10^{6}\,\text{m}$.

i) Se lanza desde la superficie y la velocidad mínima es la que le permite llegar a $r$ con velocidad nula. Conservación de la energía mecánica (solo actúa la gravedad, conservativa):$$\tfrac12 m v_0^2 - \frac{GMm}{R_T} = 0 - \frac{GMm}{r}$$$$\tfrac12 v_0^2 = GM\left(\frac1{R_T}-\frac1{r}\right)\Rightarrow v_0 = \sqrt{2GM\left(\frac1{R_T}-\frac1r\right)} = 1{,}39\cdot10^{3}\ \text{m s}^{-1}$$ii) Velocidad orbital:$$v_{\text{orb}} = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{3{,}99\cdot10^{14}}{6{,}47\cdot10^{6}}} = 7{,}85\cdot10^{3}\ \text{m s}^{-1}$$Una vez a esa altura (con $v=0$), hay que comunicarle esta velocidad en dirección perpendicular al radio (tangente a la órbita). La masa del satélite no interviene en ninguno de los dos resultados.