FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Campo y potencial gravitatorio

Andalucía · 2017 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

a) Dos partículas, de masas

m

3m

, están situadas a una distancia

d

la una de la otra. Indique razonadamente en qué punto habría que colocar otra masa

M

para que estuviera en equilibrio.

b) Dos masas iguales de

50\,\text{kg}

están en

(-3,0)

(3,0)\,\text{m}

. Calcule el trabajo necesario para desplazar una masa de

30\,\text{kg}

desde

(0,4)

hasta

(0,-4)\,\text{m}

y comente el resultado.

Dato:

G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N m}^2\text{kg}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;x = \frac{d}{1+\sqrt3}\approx0{,}37\,d\quad;\quad W = 0\ \text{J}\;}

El trabajo es nulo por simetría: ambos puntos están al mismo potencial gravitatorio (

V = -2\cdot\dfrac{G\cdot50}{5} = -1{,}33\cdot10^{-9}\,\text{J/kg}

). Como la fuerza gravitatoria es conservativa, el trabajo solo depende de las posiciones inicial y final, no del camino: aunque en algunos tramos la fuerza haga trabajo positivo y en otros negativo, el balance es cero, y no hace falta aportar energía neta para el desplazamiento (si se hace lentamente).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

M

está en equilibrio donde los dos campos (fuerzas) se anulan: entre las masas, más cerca de la menor. Igualando

\dfrac{Gm}{x^2} = \dfrac{G\,3m}{(d-x)^2}

se despeja

x

. En b), por simetría los puntos

(0,4)

(0,-4)

equidistan de las dos masas, así que el potencial es el mismo y

W=0

Desarrollo

M

está en equilibrio donde la fuerza total sobre ella es nula, es decir, donde se anula el campo gravitatorio creado por

m

3m

(

\vec F = M\vec g

; el resultado no depende de

M

). Cada masa atrae a

M

hacia sí:

Fuera del segmento que une las masas, las dos fuerzas apuntan en el mismo sentido (hacia las masas) y no pueden anularse. Tampoco fuera de la recta que las une, porque las fuerzas no serían colineales.
Entre las dos masas, las fuerzas tienen sentidos opuestos y se anulan donde sus módulos son iguales. Ese punto debe estar más cerca de la masa menor, $m$ , para compensar que $3m$ atrae más.

Llamando

x

a la distancia a

m

d-x

3m

\frac{Gm}{x^2} = \frac{G\,3m}{(d-x)^2}\Rightarrow (d-x)^2 = 3x^2\Rightarrow d = x(1+\sqrt3)\Rightarrow x = \frac{d}{1+\sqrt3} \approx 0{,}37\,d

(la otra solución de

(d-x) = \pm\sqrt3\,x

cae fuera del segmento y no es válida).

M

debe colocarse sobre el segmento que une las masas, a

0{,}37\,d

de la masa

m

(y a

0{,}63\,d

3m

). Es un equilibrio inestable: si

M

se desplaza ligeramente hacia una de las masas, la atracción de esta pasa a dominar.

b)

(0,4)

(0,-4)

distan lo mismo de cada masa (

\sqrt{3^2+4^2}=5\,\text{m}

): el potencial es idéntico en ambos,

V_i = V_f

, luego:

W = m_3(V_f - V_i) = 0

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El punto de equilibrio está más cerca de la masa menor (para compensar). En b), antes de calcular, observa la simetría: puntos equidistantes de las masas ⇒ mismo potencial ⇒ trabajo cero.

Paso 1 de 3

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a) El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es