Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a.i) En una órbita circular de radio $r$, la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta:$$\frac{GM_Tm}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\;\Rightarrow\; v = \sqrt{\frac{GM_T}{r}}$$La masa del cuerpo se simplifica: la velocidad orbital solo depende de $M_T$ y de $r$. Como ambos cuerpos están en la misma órbita, $v_m = v_{2m}$: sus velocidades orbitales son iguales.

a.ii) La energía total en la órbita es$$E = E_c + E_p = \tfrac12 mv^2 - \frac{GM_Tm}{r} = \frac{GM_Tm}{2r} - \frac{GM_Tm}{r} = -\frac{GM_Tm}{2r}$$proporcional a la masa. Con el mismo $r$: $\dfrac{E_{2m}}{E_m} = 2$, es decir, $E_{2m} = 2E_m$. La energía total del cuerpo de masa $2m$ es el doble (el doble de negativa: está el doble de ligado y haría falta el doble de energía para liberarlo).

b.i) $r_1 = 6370+2000 = 8370\,\text{km} = 8{,}37\cdot10^{6}\,\text{m}$:$$v = \sqrt{\frac{GM}{r_1}} = \sqrt{\frac{3{,}99\cdot10^{14}}{8{,}37\cdot10^{6}}} = 6{,}90\cdot10^{3}\ \text{m s}^{-1}$$$$T = \frac{2\pi r_1}{v} = \frac{2\pi\cdot8{,}37\cdot10^{6}}{6{,}90\cdot10^{3}} = 7{,}62\cdot10^{3}\ \text{s}\ (\approx 127\ \text{min})$$b.ii) $r_2 = 6370+5200 = 11570\,\text{km} = 1{,}157\cdot10^{7}\,\text{m}$:

La energía que hay que comunicarle es la diferencia de energías mecánicas entre las dos órbitas circulares:$$E_1 = -\frac{GM_Tm}{2r_1} = -\frac{3{,}99\cdot10^{14}\cdot55000}{2\cdot8{,}37\cdot10^{6}} = -1{,}31\cdot10^{12}\ \text{J}\qquad E_2 = -\frac{GM_Tm}{2r_2} = -9{,}48\cdot10^{11}\ \text{J}$$$$\Delta E = E_2 - E_1 = \frac{GM_Tm}{2}\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right) = \frac{3{,}99\cdot10^{14}\cdot55000}{2}\,(1{,}195\cdot10^{-7}-8{,}64\cdot10^{-8}) = 3{,}62\cdot10^{11}\ \text{J}$$