Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) i) El teorema de las fuerzas vivas (o teorema trabajo-energía cinética) establece que el trabajo total realizado por todas las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a la variación de su energía cinética:$$W_{\text{total}} = \Delta E_c = \tfrac{1}{2}m v_f^2 - \tfrac{1}{2}m v_i^2$$Es válido siempre, sean las fuerzas conservativas o no, y es la herramienta más directa para relacionar fuerzas y velocidades sin pasar por la cinemática.

a) ii) Una fuerza es conservativa cuando el trabajo que realiza entre dos puntos no depende de la trayectoria seguida, sino solo de las posiciones inicial y final. Equivalentemente: su trabajo a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo. Son ejemplos el peso, la fuerza gravitatoria, la elástica y la eléctrica; no lo son el rozamiento ni las fuerzas aplicadas.

Esa propiedad es la que permite definir una energía potencial $E_p$ asociada a la fuerza, de modo que$$W_{\text{conservativa}} = -\Delta E_p = E_p(\text{inicial}) - E_p(\text{final})$$El signo menos expresa que, cuando la fuerza conservativa realiza trabajo positivo, la energía potencial disminuye (y esa energía reaparece como cinética). Para las fuerzas no conservativas no puede definirse ninguna energía potencial, porque el trabajo dependería del camino.

b) i) Sobre el cuerpo actúan cuatro fuerzas. La normal en un plano inclinado equilibra solo la componente perpendicular del peso:$$N = m\,g\cos 30^\circ = 0{,}5\cdot 9{,}8\cdot 0{,}866 = 4{,}24\ \text{N}$$$$F_r = \mu\,N = 0{,}2\cdot 4{,}24 = 0{,}849\ \text{N}$$Y la altura ganada al recorrer $d = 2\,\text{m}$ sobre el plano es$$h = d\,\text{sen}\,30^\circ = 2\cdot 0{,}5 = 1\ \text{m}$$Trabajo de la fuerza aplicada (paralela al plano y en el sentido del movimiento):$$W_F = F\,d = 4\cdot 2 = +8\ \text{J}$$Trabajo del peso (el cuerpo sube, luego es negativo y solo cuenta el desnivel):$$W_P = -m\,g\,h = -0{,}5\cdot 9{,}8\cdot 1 = -4{,}9\ \text{J}$$Trabajo de la normal (perpendicular al desplazamiento):$$W_N = 0$$Trabajo del rozamiento (opuesto al movimiento):$$W_{F_r} = -F_r\,d = -0{,}849\cdot 2 = -1{,}70\ \text{J}$$b) ii) Trabajo total:$$W_{\text{total}} = 8 - 4{,}9 + 0 - 1{,}70 = 1{,}40\ \text{J}$$Aplicando el teorema de las fuerzas vivas, con el cuerpo inicialmente en reposo:$$W_{\text{total}} = \tfrac{1}{2}m v^2 - 0 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,W_{\text{total}}}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}40}{0{,}5}}$$$$v = \sqrt{5{,}61} = 2{,}37\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$