Campo y potencial gravitatorio

a) i) Disminuye. En un campo gravitatorio uniforme la fuerza sobre la partícula es $\vec{F} = m\vec{g}$, con el mismo sentido que el campo. Si la partícula se mueve en la dirección y sentido del campo, fuerza y desplazamiento son paralelos y el trabajo es positivo:$$W = \vec{F}\cdot\vec{d} > 0 \quad\Longrightarrow\quad \Delta E_p = -W < 0$$La energía potencial disminuye. Es el caso de un cuerpo que cae: pierde energía potencial y gana cinética.

a) ii) No varía. Si el desplazamiento es perpendicular al campo, también lo es a la fuerza, luego$$W = \vec{F}\cdot\vec{d} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \Delta E_p = 0$$La partícula se mueve sobre una superficie equipotencial (en un campo uniforme, planos perpendiculares a $\vec{g}$).

b) i) Distancias desde $C(0,0)$:$$r_{AC} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} = 3{,}16\ \text{m} \qquad r_{BC} = 3\ \text{m}$$Módulos:$$g_A = \frac{G\cdot 1}{10} = 6{,}67\cdot 10^{-12}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1} \qquad g_B = \frac{G\cdot 4}{9} = 2{,}96\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$Cada campo apunta desde $C$ hacia su masa. Los unitarios son$$\hat{u}_{CA} = \frac{(-3,1)}{3{,}16} = (-0{,}949;\ 0{,}316) \qquad \hat{u}_{CB} = \frac{(0,3)}{3} = (0;\ 1)$$En el esquema, desde $C$ sale un vector corto hacia arriba y a la izquierda (hacia $A$) y otro bastante más largo verticalmente hacia arriba (hacia $B$, que es cuatro veces más masiva y está más cerca).$$\vec{g}_A = (-6{,}33\cdot 10^{-12};\ 2{,}11\cdot 10^{-12}) \qquad \vec{g}_B = (0;\ 2{,}96\cdot 10^{-11})$$$$\vec{g}_C = -6{,}33\cdot 10^{-12}\,\vec{i} + 3{,}18\cdot 10^{-11}\,\vec{j}\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$$$|\vec{g}_C| = \sqrt{(6{,}33)^2 + (31{,}8)^2}\cdot 10^{-12} = 3{,}24\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$b) ii) El potencial es escalar:$$V_C = -G\left(\frac{1}{3{,}16} + \frac{4}{3}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\,(0{,}316 + 1{,}333)$$$$V_C = -1{,}10\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$b) iii) Distancias desde $D(3,0)$:$$r_{AD} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37} = 6{,}08\ \text{m} \qquad r_{BD} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 4{,}24\ \text{m}$$$$V_D = -6{,}67\cdot 10^{-11}\left(\frac{1}{6{,}08} + \frac{4}{4{,}24}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\,(0{,}164 + 0{,}943)$$$$V_D = -7{,}39\cdot 10^{-11}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$El trabajo que hay que realizar desde fuera es el incremento de energía potencial:$$W_{\text{ext}} = m\,(V_D - V_C) = 2\,\bigl(-7{,}39\cdot 10^{-11} + 1{,}10\cdot 10^{-10}\bigr)$$$$W_{\text{ext}} = 2\cdot 3{,}62\cdot 10^{-11} = 7{,}23\cdot 10^{-11}\ \text{J}$$Justificación del signo. Es positivo porque el punto $D$ está globalmente más alejado de las dos masas que $C$, así que su potencial es mayor (menos negativo). Llevar la masa allí es ir en contra de la atracción gravitatoria y exige aportar energía desde fuera.

¿Depende de la trayectoria? No. El campo gravitatorio es conservativo: el trabajo entre dos puntos depende solo de los potenciales inicial y final, no del camino recorrido. Por eso ha bastado calcular $V_C$ y $V_D$.