Campo y potencial gravitatorio

a) Para que la tercera partícula esté en equilibrio, las fuerzas que ejercen sobre ella las otras dos deben cancelarse. Eso exige que sean opuestas, lo que solo ocurre en un punto entre las dos masas (fuera del segmento ambas atraen hacia el mismo lado).

Sea $x$ la distancia desde la masa $m$; la distancia a la masa $4m$ es $d - x$. Igualando los módulos:$$\frac{G\,m\,m'}{x^2} = \frac{G\,(4m)\,m'}{(d-x)^2}$$La masa $m'$ de la partícula colocada se cancela (el punto de equilibrio no depende de ella):$$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(d-x)^2} \quad\Longrightarrow\quad (d-x)^2 = 4\,x^2 \quad\Longrightarrow\quad d - x = 2\,x$$$$\boxed{x = \frac{d}{3}}$$La tercera partícula debe colocarse a $d/3$ de la masa $m$ y, por tanto, a $2d/3$ de la masa $4m$: más cerca de la masa menor, como cabía esperar.

b) Distancias desde el origen $O(0,0)$:$$r_{AO} = 1\ \text{m} \qquad r_{BO} = 6\ \text{m}$$i) Potencial (escalar, suma con signo):$$V_O = -G\left(\frac{m_A}{r_{AO}} + \frac{m_B}{r_{BO}}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\left(\frac{1}{1} + \frac{3}{6}\right)$$$$V_O = -6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}5 = -1{,}00\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$ii) Campo. Cada uno apunta desde $O$ hacia su masa, y como ambas están en el semieje $X$ positivo, los dos campos van en el mismo sentido ($+\vec{i}$) y se suman:$$g_A = \frac{G\cdot 1}{1^2} = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$$$g_B = \frac{G\cdot 3}{6^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 3}{36} = 5{,}56\cdot 10^{-12}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$$$\vec{g}_O = (6{,}67\cdot 10^{-11} + 5{,}56\cdot 10^{-12})\ \vec{i}$$$$\vec{g}_O = 7{,}23\cdot 10^{-11}\ \vec{i}\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$Obsérvese que domina claramente la masa de $1\,\text{kg}$, pese a ser la menor: está seis veces más cerca y el campo decae con el cuadrado de la distancia.

iii) Fuerza sobre una partícula de $m' = 0{,}5\,\text{kg}$ situada en el origen:$$\vec{F} = m'\,\vec{g}_O = 0{,}5\cdot 7{,}23\cdot 10^{-11}\ \vec{i}$$$$\vec{F} = 3{,}61\cdot 10^{-11}\ \vec{i}\ \ \text{N}$$