Campo y potencial gravitatorio

a) Verdadera. La velocidad de escape desde la superficie de un planeta es$$v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}$$Comparando el planeta problema (con $M' = 2M$ y $R' = R/2$) con el de referencia:$$\frac{v'_e}{v_e} = \sqrt{\frac{M'}{M}\cdot\frac{R}{R'}} = \sqrt{2\cdot 2} = \sqrt{4} = 2$$$$v'_e = 2\,v_e$$La velocidad de escape es, efectivamente, el doble. La afirmación es verdadera.

El razonamiento cualitativo también funciona aquí: los dos cambios suman en la misma dirección. Más masa significa más atracción y, por tanto, más difícil escapar; y menos radio significa estar más cerca del centro, donde el pozo de potencial es más profundo. Cada uno aporta un factor $\sqrt{2}$, y juntos dan $2$.

b) i) Combinamos las dos expresiones que nos dan los datos. La gravedad en la superficie es$$g = \frac{G\,M}{R^2}$$y la velocidad de escape,$$v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}$$Elevando al cuadrado la segunda y sustituyendo $G\,M = g\,R^2$:$$v_e^2 = \frac{2\,G\,M}{R} = \frac{2\,g\,R^2}{R} = 2\,g\,R$$De donde:$$R = \frac{v_e^2}{2\,g} = \frac{(5\cdot 10^{3})^2}{2\cdot 3{,}7} = \frac{2{,}5\cdot 10^{7}}{7{,}4}$$$$R = 3{,}38\cdot 10^{6}\ \text{m} = 3378\ \text{km}$$(El valor real del radio de Marte es de unos $3390\,\text{km}$: los datos del enunciado son realistas.)

b) ii) Ya con el radio conocido, despejamos la masa de la expresión de la gravedad superficial:$$M = \frac{g\,R^2}{G} = \frac{3{,}7\cdot (3{,}38\cdot 10^{6})^2}{6{,}67\cdot 10^{-11}} = \frac{3{,}7\cdot 1{,}141\cdot 10^{13}}{6{,}67\cdot 10^{-11}}$$$$M = \frac{4{,}223\cdot 10^{13}}{6{,}67\cdot 10^{-11}}$$$$M = 6{,}33\cdot 10^{23}\ \text{kg}$$Es aproximadamente una décima parte de la masa terrestre ($5{,}98\cdot 10^{24}\,\text{kg}$), lo que también coincide con el valor real de Marte.