a) Determine cuánto varían la masa, el peso y la energía potencial de un cuerpo cuando pasa de la superficie de Marte a una altura igual a nueve veces el radio de Marte. b) Una masa de 3\,\text{kg} está en (3,0)\,\text{m} y otra de 5\,\text{kg} en (0,1)\,\text{m}. i) Calcule el campo gravitatorio en el origen. ii) Calcule el trabajo necesario para llevar la masa de 3\,\text{kg} desde (3,0) hasta (-3,0)\,\text{m}. Dato: G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N m}^2\text{kg}^{-2}.

FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Campo y potencial gravitatorio

Andalucía · 2019 · Reserva 2 · Opción A

Enunciado

a) Determine cuánto varían la masa, el peso y la energía potencial de un cuerpo cuando pasa de la superficie de Marte a una altura igual a nueve veces el radio de Marte.

b) Una masa de

3\,\text{kg}

está en

(3,0)\,\text{m}

y otra de

5\,\text{kg}

(0,1)\,\text{m}

. i) Calcule el campo gravitatorio en el origen. ii) Calcule el trabajo necesario para llevar la masa de

3\,\text{kg}

desde

(3,0)

hasta

(-3,0)\,\text{m}

.

Dato:

G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N m}^2\text{kg}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;\text{masa: no varía};\ P'=P/100;\ \Delta E_p = 0{,}9\,mg_0R;\ \vec g = (2{,}22\cdot10^{-11}\,\vec i + 3{,}34\cdot10^{-10}\,\vec j)\ \text{N/kg};\ W = 0\ \text{J}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La masa es invariante. El peso

P = GMm/r^2

depende de la distancia al centro: a una altura

9R

, la distancia es

10R

, así que

g

(y el peso) se dividen por

10^2 = 100

. La energía potencial

E_p = -GMm/r

se hace menos negativa (aumenta). En b) sumamos vectorialmente los campos en el origen; el trabajo depende de la variación de

E_p

entre la posición inicial y final de la masa que se mueve.

Desarrollo

a) Sean

M

R

la masa y el radio de Marte y

m

la del cuerpo. A una altura

h = 9R

, la distancia al centro es

r = R + 9R = 10R

Masa: no varía. Es una propiedad del cuerpo (cantidad de materia, medida de su inercia), independiente de dónde se encuentre.
Peso: es la fuerza gravitatoria, $P = \dfrac{GMm}{r^2}$ , inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro:

P' = \frac{GMm}{(10R)^2} = \frac{1}{100}\,\frac{GMm}{R^2} = \frac{P_0}{100}

El peso se reduce a la centésima parte (disminuye un

99\,\%

\Delta P = -0{,}99\,P_0 = -0{,}99\,mg_0

Energía potencial (origen en el infinito): $E_p = -\dfrac{GMm}{r}$ , luego $E_p' = \dfrac{E_{p0}}{10}$ , menos negativa. Su variación es

\Delta E_p = -\frac{GMm}{10R} - \left(-\frac{GMm}{R}\right) = \frac{9}{10}\,\frac{GMm}{R} = 0{,}9\,m g_0 R > 0

La energía potencial aumenta (hay que realizar trabajo contra la gravedad para elevar el cuerpo), aunque su valor absoluto se hace diez veces menor.

b.i) El campo creado por cada masa en el origen apunta hacia ella (

\vec g = -\dfrac{Gm}{r^2}\vec u_r

, con

\vec u_r

dirigido de la masa al punto):

Masa de $3\,\text{kg}$ en $(3,0)$ , a $r = 3\,\text{m}$ : $\vec g_1 = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot3}{3^2}\,\vec i = 2{,}22\cdot10^{-11}\,\vec i\ \text{N kg}^{-1}$ .
Masa de $5\,\text{kg}$ en $(0,1)$ , a $r = 1\,\text{m}$ : $\vec g_2 = \dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5}{1^2}\,\vec j = 3{,}34\cdot10^{-10}\,\vec j\ \text{N kg}^{-1}$ .

\vec g = \vec g_1+\vec g_2 = \left(2{,}22\cdot10^{-11}\,\vec i + 3{,}34\cdot10^{-10}\,\vec j\right)\ \text{N kg}^{-1}

|\vec g| = \sqrt{g_x^2 + g_y^2} = 3{,}34\cdot10^{-10}\ \text{N kg}^{-1}

formando

86{,}2^\circ

con el eje

+x

(casi en la dirección

+y

, dominado por la masa de

5\,\text{kg}

, más cercana).

b.ii) El trabajo necesario (fuerza externa, sin variar la energía cinética) es igual a la variación de energía potencial de la masa de

3\,\text{kg}

en el campo creado por la de

5\,\text{kg}

W = \Delta E_p = -\frac{G\cdot5\cdot3}{r_f} - \left(-\frac{G\cdot5\cdot3}{r_i}\right)

La distancia a la masa de

5\,\text{kg}

r_i = \sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\,\text{m}

desde

(3,0)

r_f = \sqrt{(-3)^2+1^2}=\sqrt{10}\,\text{m}

desde

(-3,0)

: no cambia. Ambos puntos están en la misma superficie equipotencial, así que

\Delta E_p = 0

W = 0\ \text{J}

(la fuerza gravitatoria es conservativa: el trabajo solo depende de las posiciones inicial y final, no del camino).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

La masa nunca cambia con la posición; lo que cambia es el peso ( $\propto 1/r^2$ ). En b.ii), antes de calcular, observa la simetría: ambos puntos equidistan de la masa de $5\,\text{kg}$ , así que el trabajo es cero sin hacer cuentas.