Campo y potencial gravitatorio

a) i) Sí puede ser negativo. El trabajo de la fuerza gravitatoria vale$$W = -\Delta E_p = m\,(V_{\text{inicial}} - V_{\text{final}})$$Es positivo cuando el cuerpo se acerca a la masa que crea el campo (la fuerza favorece el movimiento) y negativo cuando se aleja, porque entonces la fuerza se opone al desplazamiento. Por ejemplo, al lanzar un objeto hacia arriba el peso realiza trabajo negativo. También es nulo si el desplazamiento ocurre sobre una superficie equipotencial.

a) ii) Sí, y de hecho lo es siempre. Con el convenio habitual de tomar $E_p = 0$ en el infinito,$$E_p = -\frac{G\,M\,m}{r} < 0$$para cualquier distancia finita. El signo negativo refleja que la gravedad es solo atractiva: hay que aportar energía para separar las masas hasta el infinito, así que cualquier configuración ligada tiene menos energía que la de referencia.

b) i) El campo creado por la masa $m$ en $A(2,2)$ apunta desde $A$ hacia el origen (la gravedad atrae). La distancia es$$r = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} = 2{,}83\ \text{m} \qquad r^2 = 8\ \text{m}^2$$El vector unitario de $A$ hacia el origen es$$\hat{u} = \frac{(0,0)-(2,2)}{2{,}83} = \left(-\frac{2}{2{,}83};\ -\frac{2}{2{,}83}\right) = (-0{,}707;\ -0{,}707)$$luego la componente $x$ del campo es$$g_x = -\frac{G\,m}{r^2}\cdot\frac{2}{r} = -1{,}18\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$Despejando:$$\frac{G\,m}{8}\cdot 0{,}707 = 1{,}18\cdot 10^{-11} \quad\Longrightarrow\quad G\,m = \frac{1{,}18\cdot 10^{-11}\cdot 8}{0{,}707} = 1{,}335\cdot 10^{-10}$$$$m = \frac{1{,}335\cdot 10^{-10}}{6{,}67\cdot 10^{-11}} = 2{,}0\ \text{kg}$$b) ii) Potenciales en cada punto, con $G m = 1{,}335\cdot 10^{-10}$:$$V_B = -\frac{G\,m}{r_B} = -\frac{1{,}335\cdot 10^{-10}}{4} = -3{,}34\cdot 10^{-11}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$$$V_A = -\frac{G\,m}{r_A} = -\frac{1{,}335\cdot 10^{-10}}{2{,}83} = -4{,}72\cdot 10^{-11}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$Trabajo realizado por el campo al llevar $M = 5\,\text{kg}$ de $B$ a $A$:$$W_{B\to A} = M\,(V_B - V_A) = 5\,\bigl(-3{,}34\cdot 10^{-11} + 4{,}72\cdot 10^{-11}\bigr)$$$$W_{B\to A} = 5\cdot 1{,}38\cdot 10^{-11} = 6{,}91\cdot 10^{-11}\ \text{J}$$Es positivo, coherente con el apartado a): la partícula se acerca al origen (de $4$ a $2{,}83\,\text{m}$), así que la fuerza gravitatoria favorece el desplazamiento y el movimiento sería espontáneo.