FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Campo y potencial gravitatorio

Andalucía · 2024 · Julio · Opción A

Enunciado

a) Nuestra galaxia vecina, Andrómeda, tiene una masa de

1{,}5

veces la masa de la Vía Láctea. A escala galáctica, ambas se pueden considerar como dos masas puntuales. i) Justifique razonadamente si existe algún punto entre las galaxias donde se anule el campo gravitatorio originado por ambas. En caso afirmativo, determine la relación entre las distancias de ese punto a cada galaxia. ii) ¿Se anula el potencial gravitatorio en algún punto entre ambas galaxias? Justifique su respuesta.

b) Se sitúa una masa puntual de

3\,\text{kg}

en el punto

A(0,-2)\,\text{m}

y otra de

2\,\text{kg}

en el punto

B(3,0)\,\text{m}

. Calcule: i) el campo gravitatorio en el origen de coordenadas, ayudándose de un esquema; ii) el potencial gravitatorio en el origen de coordenadas.

Dato:

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

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Resultado

\boxed{\;\dfrac{x_A}{x_V} = \sqrt{1{,}5} = 1{,}22\ \text{(más cerca de la Vía Láctea)};\quad \text{el potencial no se anula}\;}

\boxed{\;\vec{g} = (1{,}48\,\vec{i} - 5{,}00\,\vec{j})\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}\qquad |\vec{g}| = 5{,}22\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}\;}

\boxed{\;V = -1{,}45\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Este ejercicio es el contraste campo (vector) frente a potencial (escalar) repetido dos veces: primero en abstracto y luego con números.

Entre las dos galaxias los campos apuntan en sentidos opuestos (cada uno hacia su galaxia), así que pueden cancelarse; los potenciales, en cambio, son ambos negativos y no hay forma de que sumen cero.

En b) las dos masas están en ejes distintos, así que no hay simetría que ayude: hay que descomponer. Pero cae bien, porque cada campo va justo a lo largo de un eje.

Desarrollo

a) i) Sí existe. Llamemos

M_A = 1{,}5\,M_V

a la masa de Andrómeda y

M_V

a la de la Vía Láctea, separadas una distancia

d

. En un punto intermedio, el campo de cada galaxia apunta hacia ella, es decir, en sentidos opuestos, de modo que pueden cancelarse.

Si

x_A

es la distancia a Andrómeda y

x_V

la distancia a la Vía Láctea (

x_A + x_V = d

), la condición

g_A = g_V

\frac{G\,M_A}{x_A^2} = \frac{G\,M_V}{x_V^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1{,}5\,M_V}{x_A^2} = \frac{M_V}{x_V^2}

\frac{x_A^2}{x_V^2} = 1{,}5 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x_A}{x_V} = \sqrt{1{,}5} = 1{,}22

El punto está más cerca de la Vía Láctea, que es la menos masiva, como debe ser.

a) ii) No se anula. El potencial creado por cada galaxia es

V = -\frac{G M}{r} < 0

El potencial total es la suma de dos cantidades negativas, así que es siempre negativo y no puede anularse en ningún punto a distancia finita. Solo tiende a cero cuando

r \to \infty

.

b) i) El campo creado por cada masa apunta desde el origen hacia la masa:

La masa de $3\,\text{kg}$ está en $A(0,-2)$ , a $r_A = 2\,\text{m}$ sobre el eje $Y$ negativo:

g_A = \frac{G\,m_A}{r_A^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 3}{2^2} = 5{,}00\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1} \qquad \text{dirección } -\vec{j}

La masa de $2\,\text{kg}$ está en $B(3,0)$ , a $r_B = 3\,\text{m}$ sobre el eje $X$ positivo:

g_B = \frac{G\,m_B}{r_B^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2}{3^2} = 1{,}48\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1} \qquad \text{dirección } +\vec{i}

En el esquema, desde el origen sale un vector corto hacia la derecha (hacia

B

) y otro más largo hacia abajo (hacia

A

). Como son perpendiculares, la suma es inmediata:

\vec{g} = 1{,}48\cdot 10^{-11}\,\vec{i} - 5{,}00\cdot 10^{-11}\,\vec{j}\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}

|\vec{g}| = \sqrt{(1{,}48)^2 + (5{,}00)^2}\cdot 10^{-11} = 5{,}22\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}

formando

73{,}5^\circ

por debajo del eje

X

positivo.

b) ii) El potencial es escalar y se suma directamente, con su signo:

V = -G\left(\frac{m_A}{r_A} + \frac{m_B}{r_B}\right) = -6{,}67\cdot 10^{-11}\left(\frac{3}{2} + \frac{2}{3}\right)

V = -6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2{,}17 = -1{,}45\cdot 10^{-10}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En el cociente de distancias la raíz es obligatoria: $x_A/x_V = \sqrt{1{,}5}$ , no $1{,}5$ . El campo va con el cuadrado de la distancia.

Y en b) no sumes los módulos ( $5{,}00 + 1{,}48$ estaría mal): los vectores son perpendiculares, así que el módulo sale por Pitágoras. Distingue bien el apartado i) (vector) del ii) (escalar): es justo lo que se está evaluando.