Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) i) Falsa. Lo que se necesita para que se conserve la energía mecánica es que no actúen fuerzas no conservativas (o que no realicen trabajo), no que la resultante sea nula.

El contraejemplo más simple es la caída libre: sobre el cuerpo actúa únicamente el peso, la resultante es claramente no nula (el cuerpo acelera) y sin embargo$$E_m = E_c + E_p = \text{constante}$$durante todo el movimiento. Lo que ocurre es que la energía se transforma de potencial en cinética, pero no se pierde.

De hecho, si la resultante fuese siempre nula el cuerpo estaría en reposo o con movimiento rectilíneo uniforme: un caso muy particular, no la condición general. Y ni siquiera garantiza la conservación: un cuerpo que baja por un plano inclinado a velocidad constante (el rozamiento compensa la componente del peso) tiene resultante nula, $E_c$ constante y $E_p$ decreciente, así que su energía mecánica disminuye. La resultante nula no es ni necesaria ni suficiente.

a) ii) Verdadera. Por el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo total es igual a la variación de energía cinética:$$W_{\text{total}} = \Delta E_c$$Si todas las fuerzas son conservativas, ese trabajo total puede escribirse como una variación de energía potencial cambiada de signo:$$W_{\text{total}} = -\Delta E_p$$Igualando ambas expresiones:$$\Delta E_c = -\Delta E_p \quad\Longrightarrow\quad \Delta E_c + \Delta E_p = 0 \quad\Longrightarrow\quad \Delta E_m = 0$$La energía mecánica se conserva. Ésta es la condición correcta, y la que la afirmación i) enunciaba mal.

b) i) Sobre el plano inclinado actúan tres fuerzas:

• el peso $\vec{P} = m\vec{g}$, vertical y hacia abajo, que conviene descomponer en una componente paralela al plano ($mg\,\text{sen}\,30^\circ$, que lo impulsa hacia abajo) y otra perpendicular ($mg\cos 30^\circ$);
• la normal $\vec{N}$, perpendicular al plano y hacia fuera, que equilibra la componente perpendicular del peso: $N = mg\cos 30^\circ$;
• la fuerza de rozamiento $\vec{F}_r$, paralela al plano y hacia arriba (opuesta al movimiento de descenso), de módulo $\mu N$.

Sobre la superficie horizontal actúan:

• el peso, vertical y hacia abajo;
• la normal, ahora igual al peso completo: $N = mg$;
• la fuerza de rozamiento, horizontal y opuesta al avance, de módulo $\mu\,mg$.

b) ii) El cuerpo parte del reposo y acaba en reposo, así que $\Delta E_c = 0$ y toda la energía potencial inicial se ha disipado:$$m\,g\,h = |W_{\text{roz, plano}}| + |W_{\text{roz, horizontal}}|$$Tramo inclinado. La distancia recorrida sobre el plano es $d_1 = h/\text{sen}\,30^\circ = 0{,}5/0{,}5 = 1\,\text{m}$, y la normal vale $mg\cos 30^\circ$:$$|W_1| = \mu\,m\,g\cos 30^\circ\cdot d_1 = \mu\cdot 1\cdot 9{,}8\cdot 0{,}866\cdot 1 = 8{,}49\,\mu$$Tramo horizontal. Aquí la normal es el peso completo:$$|W_2| = \mu\,m\,g\cdot d_2 = \mu\cdot 1\cdot 9{,}8\cdot 3 = 29{,}4\,\mu$$Balance energético:$$m\,g\,h = 1\cdot 9{,}8\cdot 0{,}5 = 4{,}9\ \text{J}$$$$4{,}9 = 8{,}49\,\mu + 29{,}4\,\mu = 37{,}89\,\mu$$$$\mu = \frac{4{,}9}{37{,}89}$$$$\mu = 0{,}129$$Un coeficiente pequeño, coherente con que el cuerpo recorra $3\,\text{m}$ en horizontal habiendo caído solo medio metro.