Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) i) Verdadero. Separando el trabajo total en el de las fuerzas conservativas y el del resto,$$W_{\text{total}} = W_{\text{c}} + W_{\text{nc}} = \Delta E_c$$y como para las conservativas $W_{\text{c}} = -\Delta E_p$:$$W_{\text{nc}} = \Delta E_c + \Delta E_p = \Delta E_m$$Es exactamente lo que dice el enunciado.

a) ii) Falso. De $W_{\text{nc}} = \Delta E_m$ se deduce que la energía mecánica varía solo si las fuerzas no conservativas realizan trabajo, no por el mero hecho de actuar. El contraejemplo más limpio es la fuerza normal: es no conservativa y siempre perpendicular al desplazamiento, luego $W_N = 0$. Un cuerpo que desliza por un plano horizontal liso tiene normal actuando y conserva su energía mecánica.

b) i) Sobre el bloque actúan cuatro fuerzas: el peso $\vec{P}$ (vertical hacia abajo), la normal $\vec{N}$ (vertical hacia arriba), la fuerza aplicada $\vec{F}$ (hacia la izquierda, $30^\circ$ por encima de la horizontal) y el rozamiento $\vec{F}_r$ (horizontal, hacia la izquierda, opuesto al movimiento).

Tomando el eje $X$ positivo hacia la derecha (sentido del movimiento), las componentes de la fuerza aplicada son$$F_x = -F\cos 30^\circ = -20\cdot 0{,}866 = -17{,}3\ \text{N} \qquad F_y = +F\,\text{sen}\,30^\circ = +10\ \text{N}$$b) ii) El bloque parte con $3\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$ y se detiene:$$\Delta E_c = 0 - \tfrac{1}{2}m v_0^2 = -\tfrac{1}{2}\cdot 150\cdot 3^2 = -675\ \text{J}$$El movimiento es horizontal, así que la altura no cambia:$$\Delta E_p = 0$$$$\Delta E_m = \Delta E_c + \Delta E_p = -675\ \text{J}$$b) iii) El peso y la normal son perpendiculares al desplazamiento:$$W_P = 0 \qquad W_N = 0$$La fuerza aplicada es constante y solo trabaja con su componente horizontal, opuesta al desplazamiento:$$W_F = F_x\,d = -17{,}3\cdot 25 = -433\ \text{J}$$El rozamiento se despeja del teorema de las fuerzas vivas, $W_{\text{total}} = \Delta E_c$:$$W_P + W_N + W_F + W_{F_r} = \Delta E_c$$$$0 + 0 - 433 + W_{F_r} = -675$$$$W_{F_r} = -675 + 433 = -242\ \text{J}$$Los dos trabajos son negativos, coherente con que ambas fuerzas frenan el bloque.

Comprobación (no la pide el enunciado, pero cuadra): la normal vale $N = mg - F\,\text{sen}\,30^\circ = 1470 - 10 = 1460\ \text{N}$, luego $\mu = \dfrac{242}{1460\cdot 25} = 6{,}6\cdot 10^{-3}$, un valor pequeño pero posible.