Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) Como parten del reposo y no hay rozamiento, la energía mecánica se conserva y toda la energía potencial se convierte en cinética:$$m\,g\,h = \tfrac{1}{2}m\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2\,g\,h} \qquad\text{y}\qquad E_c = m\,g\,h$$i) La velocidad es proporcional a la raíz de la altura:$$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{2h}{h}} = \sqrt{2} = 1{,}41 \qquad\Longrightarrow\qquad v_2 = \sqrt{2}\,v_1$$El que cae desde $2h$ llega un $41\,\%$ más rápido, no el doble.

ii) La energía cinética es directamente proporcional a la altura:$$\frac{E_{c,2}}{E_{c,1}} = \frac{m g (2h)}{m g h} = 2 \qquad\Longrightarrow\qquad E_{c,2} = 2\,E_{c,1}$$Aquí sí se duplica. (Es coherente: $E_c \propto v^2$, y $(\sqrt{2})^2 = 2$.)

b) i) Sobre el cuerpo actúan cuatro fuerzas: el peso $\vec{P}$ (vertical hacia abajo), la normal $\vec{N}$ (perpendicular al plano), la fuerza aplicada $\vec{F}$ de $10\,\text{N}$ (paralela al plano y hacia arriba, que es la que lo hace subir) y el rozamiento $\vec{F}_r$ (paralelo al plano y hacia abajo, opuesto al movimiento ascendente).

b) ii) Longitud recorrida sobre el plano al ascender $10\,\text{m}$ de altura:$$L = \frac{h}{\text{sen}\,30^\circ} = \frac{10}{0{,}5} = 20\ \text{m}$$Trabajo del peso. Solo cuenta el desnivel, y el cuerpo sube, luego es negativo:$$W_P = -m\,g\,h = -2\cdot 9{,}8\cdot 10 = -196\ \text{J}$$Trabajo de la normal. Perpendicular al desplazamiento en todo momento:$$W_N = 0$$Trabajo de la fuerza aplicada. Paralela al plano y en el sentido del movimiento:$$W_F = F\,L = 10\cdot 20 = +200\ \text{J}$$Trabajo del rozamiento. Al ser la velocidad constante, $\Delta E_c = 0$ y el trabajo total es nulo:$$W_P + W_N + W_F + W_{F_r} = \Delta E_c = 0$$$$-196 + 0 + 200 + W_{F_r} = 0$$$$W_{F_r} = -4\ \text{J}$$Negativo, como corresponde a una fuerza disipativa. Obsérvese lo ajustado del balance: de los $200\,\text{J}$ que aporta la fuerza aplicada, $196\,\text{J}$ se invierten en ganar altura y solo $4\,\text{J}$ se pierden por rozamiento.