Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a.i) Falsa. La energía cinética $E_c = \tfrac12 mv^2$ nunca es negativa, porque $m > 0$ y $v^2 \ge 0$. Pero la energía potencial no tiene un valor absoluto: depende del origen elegido. La energía potencial gravitatoria, tomando el origen en el infinito, es$$E_p = -\frac{G M m}{r} < 0$$negativa en todo punto. Y con $E_p = mgh$, un cuerpo situado por debajo del nivel de referencia ($h < 0$) también tiene energía potencial negativa. Lo que tiene significado físico son las variaciones de $E_p$, no su signo.

a.ii) Verdadera. La fuerza gravitatoria es conservativa y está relacionada con la energía potencial por $W = -\Delta E_p$ (en una dimensión, $F = -\,dE_p/dx$): la fuerza apunta siempre hacia donde la energía potencial disminuye. Una masa en reposo empieza a moverse en el sentido de la fuerza, luego hacia menor $E_p$. Energéticamente: si parte del reposo, $\Delta E_c = -\Delta E_p$ y como $E_c$ solo puede aumentar desde cero, $E_p$ tiene que disminuir.

b) Esquema de fuerzas.

• En el tramo horizontal: el peso $m\vec g$ vertical hacia abajo, la normal $\vec N$ vertical hacia arriba ($N = mg = 19{,}6\,\text{N}$) y el rozamiento $\vec F_r$ horizontal, opuesto a la velocidad ($F_r = \mu mg = 1{,}96\,\text{N}$).
• En el plano inclinado: el peso vertical hacia abajo (que se descompone en $mg\,\text{sen}\,30^\circ = 9{,}8\,\text{N}$ paralela al plano hacia abajo y $mg\cos30^\circ$ perpendicular al plano), la normal perpendicular al plano hacia fuera ($N = mg\cos30^\circ = 17{,}0\,\text{N}$) y el rozamiento paralelo al plano, hacia abajo, opuesto al movimiento de subida ($F_r = \mu mg\cos30^\circ = 1{,}70\,\text{N}$).

Tramo horizontal ($d=0{,}2\,\text{m}$). El trabajo del rozamiento es$$W_{roz,1} = -\mu mg\,d = -0{,}1\cdot2\cdot9{,}8\cdot0{,}2 = -0{,}39\,\text{J}$$Energía cinética al pie del plano (teorema de la energía cinética; peso y normal no trabajan):$$E_c = \tfrac12 m v_0^2 + W_{roz,1} = 25 - 0{,}39 = 24{,}61\ \text{J}$$Subida. Si sube una altura $h$, recorre sobre el plano $L = h/\text{sen}\,30^\circ$ y el rozamiento trabaja$$W_{roz,2} = -\mu mg\cos30^\circ\,\frac{h}{\text{sen}\,30^\circ} = -\mu mg\,h\cot30^\circ$$Balance de energía entre el pie del plano y el punto más alto ($v = 0$): la energía cinética se convierte en potencial y en trabajo contra el rozamiento,$$E_c = mgh + \mu mg\,h\cot30^\circ = mgh(1+\mu\cot 30^\circ)$$$$h = \frac{E_c}{mg(1+\mu\cot 30^\circ)} = \frac{24{,}61}{2\cdot9{,}8\,(1+0{,}1\cdot1{,}732)} = 1{,}07\ \text{m}$$Recorre sobre el plano $L = h/\text{sen}\,30^\circ = 2{,}14\,\text{m}$.