Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de la Tierra es $g_0 = \dfrac{GM_T}{R_T^2}$. Con la misma masa y radio $R_T' = R_T/2$:$$g_0' = \frac{GM_T}{(R_T/2)^2} = 4\,\frac{GM_T}{R_T^2} = 4\,g_0$$La intensidad del campo en la superficie se cuadruplica (la superficie está más cerca del centro).

En la órbita alrededor del Sol, la fuerza gravitatoria del Sol sobre la Tierra actúa como fuerza centrípeta:$$\frac{GM_S M_T}{r^2} = M_T\frac{v^2}{r}\ \Rightarrow\ v = \sqrt{\frac{GM_S}{r}},\qquad T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM_S}}$$A efectos de la órbita, la Tierra se comporta como una masa puntual situada en su centro: solo intervienen la masa del Sol y la distancia Sol-Tierra, y ni siquiera la masa de la Tierra (se simplifica). Como el radio terrestre no aparece, la órbita no cambia: mismo radio, misma velocidad orbital y mismo periodo (un año).

b) Velocidad orbital de la Luna:$$v = \sqrt{\frac{GM_T}{D}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{3{,}84\cdot10^{8}}} = 1{,}02\cdot10^{3}\ \text{m s}^{-1}$$Periodo:$$T = \frac{2\pi D}{v} = \frac{2\pi\cdot3{,}84\cdot10^{8}}{1{,}02\cdot10^{3}} = 2{,}37\cdot10^{6}\ \text{s}\ (\approx 27{,}4\ \text{días})$$