Campo y potencial gravitatorio

a) i) Verdadero. La ley de gravitación universal es$$\vec{F} = -\,\frac{G\,M\,m}{r^2}\,\hat{u}_r$$La fuerza tiene siempre la dirección de la recta que une las dos partículas y está dirigida hacia la partícula que la crea. Eso es precisamente lo que define una fuerza central: su línea de acción pasa siempre por un punto fijo (el centro de fuerzas) y su módulo solo depende de la distancia a ese punto. Como consecuencia, el momento de la fuerza respecto a ese centro es nulo y se conserva el momento angular, que es lo que hace que las órbitas sean planas y se cumpla la segunda ley de Kepler.

a) ii) Falso. El módulo es$$F = \frac{G\,M\,m}{r^2}$$es decir, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, no directamente. Si la distancia se duplica, la fuerza se reduce a la cuarta parte; si fuese como dice el enunciado, se haría cuatro veces mayor, y dos cuerpos alejados se atraerían más que dos próximos, lo que es absurdo.

b) i) Distancia de cada masa al punto $C(0,4)$:$$r_{AC} = r_{BC} = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41} = 6{,}40\ \text{m} \qquad r^2 = 41\ \text{m}^2$$Módulo del campo creado por cada una:$$g_A = g_B = \frac{G\,m}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2}{41} = 3{,}25\cdot 10^{-12}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$Cada campo apunta desde $C$ hacia su masa, con unitarios$$\hat{u}_{CA} = \frac{(-5,-4)}{6{,}40} = (-0{,}781;\,-0{,}625) \qquad \hat{u}_{CB} = \frac{(5,-4)}{6{,}40} = (0{,}781;\,-0{,}625)$$En el esquema, los dos vectores salen de $C$ apuntando en diagonal hacia abajo, simétricos respecto al eje $Y$. Al sumarlos, las componentes horizontales se cancelan y las verticales se suman:$$\vec{g}_C = 2\,g_A\,(-0{,}625)\,\vec{j} = -2\cdot 3{,}25\cdot 10^{-12}\cdot 0{,}625\ \vec{j}$$$$\vec{g}_C = -4{,}07\cdot 10^{-12}\ \vec{j}\ \ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$Apunta hacia el origen, en el sentido negativo del eje $Y$, como exige la simetría.

b) ii) Potencial en $C$ (escalar, las dos masas a $\sqrt{41}$):$$V_C = -2\,\frac{G\,m}{r_{AC}} = -2\cdot\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2}{6{,}40} = -4{,}17\cdot 10^{-11}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$Potencial en $O(0,0)$ (las dos masas a $5\,\text{m}$):$$V_O = -2\,\frac{G\,m}{5} = -2\cdot\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2}{5} = -5{,}34\cdot 10^{-11}\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}$$El trabajo realizado por el campo al trasladar la masa de $C$ a $O$ es$$W_{C\to O} = m\,(V_C - V_O) = 1\cdot\bigl(-4{,}17\cdot 10^{-11} + 5{,}34\cdot 10^{-11}\bigr)$$$$W_{C\to O} = 1{,}17\cdot 10^{-11}\ \text{J}$$Justificación del signo. Es positivo. El punto $O$ está más cerca de las dos masas ($5\,\text{m}$ frente a $6{,}40\,\text{m}$), luego su potencial es menor (más negativo). La masa se desplaza hacia donde el campo la atrae, así que el movimiento es espontáneo y lo realiza el propio campo gravitatorio, sin necesidad de un agente externo. Su energía potencial disminuye y esa diferencia se convierte en energía cinética.