Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) De igualar la fuerza gravitatoria a la centrípeta se obtiene la velocidad orbital:$$\frac{G\,M_T\,m}{r^2} = \frac{m\,v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G\,M_T}{r}}$$La velocidad no depende de la masa del satélite (por eso da igual que sean idénticos) y es inversamente proporcional a la raíz del radio. Con $R_A = 3\,R_B$:$$\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{R_B}{R_A}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = 0{,}577$$$$v_A = \frac{v_B}{\sqrt{3}} \qquad\text{o bien}\qquad v_B = \sqrt{3}\;v_A = 1{,}73\,v_A$$Se mueve más rápido el satélite B, el de órbita menor. Es el comportamiento general de las órbitas: cuanto más cerca está un satélite del cuerpo central, más intensa es la atracción y mayor debe ser su velocidad para mantenerse en órbita. Por eso Mercurio es el planeta más rápido del Sistema Solar y Neptuno el más lento.

b) i) Diez vueltas al día equivalen a un periodo de$$T = \frac{86400}{10} = 8640\ \text{s}$$De la tercera ley de Kepler, $T = 2\pi\sqrt{r^3/(G M_T)}$, despejamos el radio:$$r = \sqrt[3]{\frac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2}}$$Con $G\,M_T = 3{,}989\cdot 10^{14}$ y $T^2 = 7{,}465\cdot 10^{7}$:$$r = \sqrt[3]{\frac{3{,}989\cdot 10^{14}\cdot 7{,}465\cdot 10^{7}}{39{,}48}} = \sqrt[3]{7{,}542\cdot 10^{20}}$$$$r = 9{,}10\cdot 10^{6}\ \text{m}$$Pero eso es el radio desde el centro de la Tierra. La altura sobre la superficie es$$h = r - R_T = 9{,}10\cdot 10^{6} - 6{,}37\cdot 10^{6}$$$$h = 2{,}73\cdot 10^{6}\ \text{m} = 2733\ \text{km}$$b) ii) La velocidad se puede obtener de dos formas, y conviene usar ambas para comprobar.

Como movimiento circular uniforme:$$v = \frac{2\pi\,r}{T} = \frac{2\pi\cdot 9{,}10\cdot 10^{6}}{8640} = \frac{5{,}719\cdot 10^{7}}{8640}$$$$v = 6{,}62\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Y con la expresión de la velocidad orbital:$$v = \sqrt{\frac{G\,M_T}{r}} = \sqrt{\frac{3{,}989\cdot 10^{14}}{9{,}10\cdot 10^{6}}} = \sqrt{4{,}382\cdot 10^{7}} = 6{,}62\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\ \checkmark$$