Mecánica: dinámica, energía y trabajo

a) El peso en la superficie es la fuerza gravitatoria que la Tierra ejerce sobre el bloque:$$P = mg_0 = G\,\frac{M_T\,m}{R_T^2}$$(la masa $m$ del bloque no cambia).

a.i) $M_T\to M_T/2$ con $R_T$ fijo: $P' = G\dfrac{(M_T/2)\,m}{R_T^2} = \dfrac{P}{2}$. El peso se reduce a la mitad (es proporcional a la masa de la Tierra).

a.ii) $R_T\to R_T/2$ con $M_T$ fija: $P' = G\dfrac{M_T\,m}{(R_T/2)^2} = 4\,G\dfrac{M_T\,m}{R_T^2} = 4P$. El peso se cuadruplica (es inversamente proporcional al cuadrado del radio: el bloque queda más cerca del centro).

b.i) Sobre el bloque actúan el peso, la normal $N = mg\cos30^\circ$ (no trabaja) y el rozamiento $F_r = \mu mg\cos30^\circ$, opuesto al movimiento (hacia abajo del plano). Tomando $E_p = 0$ en el punto de partida, el trabajo de la fuerza no conservativa es igual a la variación de energía mecánica. Si sube una altura $h$, recorre $d = h/\text{sen}\,30^\circ$ y se detiene:$$W_r = \Delta E_m\ \Rightarrow\ -\mu mg\cos30^\circ\,\frac{h}{\text{sen}\,30^\circ} = mgh - \tfrac12 mv_0^2\ \Rightarrow\ \tfrac12 mv_0^2 = mgh\,(1 + \mu\cot30^\circ)$$$$h = \frac{v_0^2}{2g(1+\mu\cot 30^\circ)} = \frac{100}{2\cdot9{,}8\,(1+0{,}3\cdot1{,}73)} = 3{,}36\ \text{m}$$b.ii) Recorrido $d = h/\text{sen}\,30^\circ = 6{,}71\,\text{m}$; trabajo de rozamiento (fuerza opuesta al desplazamiento, por eso negativo):$$W_r = -\mu mg\cos30^\circ\cdot d = -0{,}3\cdot1\cdot9{,}8\cdot0{,}866\cdot6{,}71 = -17{,}1\ \text{J}$$Comprobación: $W_r = mgh - \tfrac12 mv_0^2 = 32{,}9 - 50 = -17{,}1\,\text{J}$.