Campo y potencial gravitatorio

a) Partiendo de $g = GM/R^2$, se tiene $GM = gR^2$, y la velocidad de escape es$$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{\frac{2gR^2}{R}} = \sqrt{2\,g\,R}$$Comparando la Luna con la Tierra:$$\frac{v_{e,L}}{v_{e,T}} = \sqrt{\frac{g_L\,R_L}{g_T\,R_T}} = \sqrt{0{,}163\cdot 0{,}27} = \sqrt{0{,}0440} = 0{,}210$$La velocidad de escape de la Luna es $0{,}21$ veces la de la Tierra, no la mitad. La afirmación es falsa. (Con $v_{e,T} = 11{,}2\ \text{km/s}$ sale $v_{e,L} \approx 2{,}35\ \text{km/s}$, el valor real.)

b1) i) Masas: $m_A = 2\,\text{kg}$ en $A(2,0)$ y $m_B = 3\,\text{kg}$ en $B(0,2)$. Punto $C(3,1)$.

En el esquema, desde $C$ salen dos vectores, cada uno apuntando hacia la masa que lo crea (el campo gravitatorio es siempre atractivo): $\vec{g}_A$ hacia $A$ (abajo a la izquierda, a $45^\circ$), que es el mayor porque $A$ está mucho más cerca ($\sqrt{2}\,\text{m}$ frente a $\sqrt{10}\,\text{m}$), y $\vec{g}_B$ hacia $B$ (a la izquierda y ligeramente hacia arriba, casi horizontal), unas tres veces más pequeño. Su suma, por la regla del paralelogramo, apunta hacia abajo a la izquierda (tercer cuadrante visto desde $C$).

ii) Vectores de posición y distancias:$$\vec{r}_{CA} = (2,0)-(3,1) = (-1,-1) \qquad r_{CA} = \sqrt{2} = 1{,}414\ \text{m} \qquad r_{CA}^2 = 2$$$$\vec{r}_{CB} = (0,2)-(3,1) = (-3,1) \qquad r_{CB} = \sqrt{10} = 3{,}162\ \text{m} \qquad r_{CB}^2 = 10$$Módulos:$$g_A = \frac{G\,m_A}{r_{CA}^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2}{2} = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$$$g_B = \frac{G\,m_B}{r_{CB}^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 3}{10} = 2{,}00\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$Multiplicando cada módulo por su unitario:$$\vec{g}_A = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\frac{(-1,-1)}{1{,}414} = (-4{,}72,\ -4{,}72)\cdot 10^{-11}$$$$\vec{g}_B = 2{,}00\cdot 10^{-11}\,\frac{(-3,1)}{3{,}162} = (-1{,}90,\ +0{,}63)\cdot 10^{-11}$$Campo total:$$\vec{g}_C = (-6{,}61\,\vec{i} - 4{,}08\,\vec{j})\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$$$|\vec{g}_C| = \sqrt{6{,}61^2 + 4{,}08^2}\cdot 10^{-11} = 7{,}77\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}$$iii) La masa de $3\,\text{kg}$ está en $B(0,2)$ y la fuerza que experimenta se la ejerce la de $2\,\text{kg}$, situada en $A(2,0)$:$$\vec{r}_{BA} = (2,0)-(0,2) = (2,-2) \qquad r_{BA} = 2\sqrt{2} = 2{,}83\ \text{m} \qquad r_{BA}^2 = 8$$$$F = \frac{G\,m_A m_B}{r_{BA}^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2\cdot 3}{8} = 5{,}00\cdot 10^{-11}\ \text{N}$$Dirigida de $B$ hacia $A$, con unitario $(2,-2)/2{,}83 = (0{,}707,\,-0{,}707)$:$$\vec{F} = (3{,}54\,\vec{i} - 3{,}54\,\vec{j})\cdot 10^{-11}\ \text{N}$$b2) i) Longitud recorrida por el plano:$$L = \frac{h}{\text{sen}\,37^\circ} = \frac{4}{0{,}602} = 6{,}65\ \text{m}$$Trabajo del peso (solo cuenta el desnivel):$$W_P = m\,g\,h = 3\cdot 9{,}8\cdot 4 = 117{,}6\ \text{J}$$Trabajo de la normal: es perpendicular al desplazamiento, luego$$W_N = 0$$Trabajo del rozamiento: por el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo total es el incremento de energía cinética,$$W_{\text{total}} = \Delta E_c = \tfrac{1}{2}m v^2 - 0 = \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 5^2 = 37{,}5\ \text{J}$$$$W_{\text{roz}} = \Delta E_c - W_P - W_N = 37{,}5 - 117{,}6 = -80{,}1\ \text{J}$$ii) Como $|W_{\text{roz}}| = \mu\,m g\cos 37^\circ\cdot L$:$$80{,}1 = \mu\cdot 3\cdot 9{,}8\cdot 0{,}799\cdot 6{,}65 = \mu\cdot 156{,}1$$$$\mu = 0{,}513$$