Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) i) Un cuerpo de masa $m$ lanzado desde la superficie de un planeta de masa $M$ y radio $R$ tiene energía mecánica$$E = \tfrac{1}{2}m v^2 - \frac{G M m}{R}$$Escapar significa alcanzar el infinito, donde $E_p = 0$, y hacerlo justo con velocidad nula (caso límite), luego $E_{\infty} = 0$. Como no hay fuerzas disipativas, la energía se conserva:$$\tfrac{1}{2}m v_e^2 - \frac{G M m}{R} = 0$$$$\boxed{v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}}$$Obsérvese que no depende de la masa del cuerpo que escapa: se cancela.

a) ii) Aplicando la fórmula a los dos astros y dividiendo:$$\frac{v_{e,T}}{v_{e,L}} = \frac{\sqrt{2GM_T/R_T}}{\sqrt{2GM_L/R_L}} = \sqrt{\frac{M_T}{M_L}\cdot\frac{R_L}{R_T}}$$Con $M_T = 81\,M_L$ y $R_T = 3{,}67\,R_L$:$$\frac{v_{e,T}}{v_{e,L}} = \sqrt{\frac{81}{3{,}67}} = \sqrt{22{,}07} = 4{,}70$$La velocidad de escape desde la Tierra es unas $4{,}7$ veces la de la Luna. (Con $v_{e,T} \approx 11{,}2\,\text{km/s}$ resulta $v_{e,L} \approx 2{,}4\,\text{km/s}$, que es el valor real.)

b) i) Órbita estacionaria significa que el periodo del satélite coincide con el de rotación del planeta:$$T_J = 0{,}41\cdot 24\ \text{h} = 9{,}84\ \text{h} = 3{,}54\cdot 10^{4}\ \text{s}$$Igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta, con $v = 2\pi r/T$:$$\frac{G M_J m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2 r}{T_J^2} \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt[3]{\frac{G M_J\,T_J^2}{4\pi^2}}$$$$r = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}9\cdot 10^{27}\cdot (3{,}54\cdot 10^{4})^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{4{,}03\cdot 10^{24}}$$$$r = 1{,}59\cdot 10^{8}\ \text{m}$$b) ii) La misma expresión vale para la Tierra, así que al dividir se cancelan $G$ y $4\pi^2$:$$\frac{r_J}{r_T} = \sqrt[3]{\frac{M_J\,T_J^2}{M_T\,T_T^2}} = \sqrt[3]{\frac{M_J}{M_T}\left(\frac{T_J}{T_T}\right)^2}$$Con $M_J = 318\,M_T$ y $T_J = 0{,}41\,T_T$:$$\frac{r_J}{r_T} = \sqrt[3]{318\cdot (0{,}41)^2} = \sqrt[3]{53{,}5} = 3{,}77$$El radio de la órbita estacionaria de Júpiter es unas $3{,}8$ veces el de la órbita geoestacionaria. (Comprobación: la órbita geoestacionaria terrestre está a $r_T = 4{,}23\cdot 10^{7}\,\text{m}$, y $1{,}59\cdot 10^{8}/4{,}23\cdot 10^{7} = 3{,}77$.)